机器学习作业 1 - 线性回归

1.单变量线性回归

导入需要使用的包

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

导入数据集。提醒大家：一定要把数据文件ex1data1.txt放在和程序同一个文件夹里，否则需要使用绝对路径访问文件 将csv文件读入并转化为数据框形式，路径，指定哪一行作为表头。默认设置为0（即第一行作为表头），如果没有表头的话，要修改参数，设置header=None，指定列的名称，用列表表示。一般我们没有表头，即header=None时，这个用来添加列名 在默认情况下，head命令显示文件的头5行内容。

path = 'ex1data1.txt'
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head() # 预览数据

对于数值数据，结果的索引将包括计数(count)、平均值(mean)、标准差(std)、最小值(min)、最大值(max)以及较低的百分位数为50.默认情况下，较低的百分位数为25，较高的百分位数为75.50百分位数与中位数相同。

data.describe()

数据可视化，绘制散点图kind：取值为line或者scatter，后者为默认值 图像大小

data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
plt.show()

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现在让我们使用梯度下降来实现线性回归，义最小化成本函数。以下代码示例中实现的方程在“练习”文件夹中的“ex1.pdf”中有详细说明。

首先，我们将创建一个参数$\theta$为特征函数的代价函数

np.power(x1,x2)数组的元素分别求n次方。x2可以是数字，也可以是数组，但是x1和x2的列数要相同

def computeCost(X, y, theta):
    # your code here (appro ~2 lines)
    inner = np.power(((X * theta.T)-y), 2)
    return np.sum(inner) / (2 * len(X))

让我们在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。在训练集的左侧插入一列全为“1”的列，以便计算即x0=1 loc为0，name为ones,value为1.

data.insert(0, 'Ones', 1)

现在我们来做一些变量初始化。 .shape[0]为第一维的长度， .shape[1]为第二维的查毒理解列。 pandas中利用iloc选取数据iloc’,‘前的部分标明选取的行，’,'后的部分标明选取的列 此时三列了

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols-1] # X是所有行，去掉最后一列 [0,2)
y = data.iloc[:,cols-1:cols] # [2,3)

观察下X(训练集) and y(目标变量)是否正确.

X.head() # head() 默认是观察前5行

y.head()

代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们，我们还需要初始化theta，即把theta所有元素都设置为0.

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
# your code here (appro ~1 lines)
theta = np.matrix(np.array([0,0]))

theta是一个(1,2)矩阵

theta

matrix([[0, 0]])

看一下维度

X.shape, theta.shape, y.shape

((97, 2), (1, 2), (97, 1))

计算代价函数(theta初始值为0).

computeCost(X, y, theta)

32.072733877455676

2.batch gradient descent (批量梯度下降)

def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) # 构建零值矩阵
    parameters = int(theta.ravel().shape[1]) # ravel计算需要求解的参数个数 概念将多维数组降至一维
    cost = np.zeros(iters) # 构建iters个0的数组
    
    for i in range(iters):
        # your code here (appro ~ 2 lines)
        error = (X * theta.T) - y
        for j in range(parameters):
            # your code here (appro ~2 lines)
            term = np.multiply(error, X[:,j]) # 计算两矩阵(hθ(x)-y)x
            temp[0, j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
            
        # your code here (appro ~2 lines)
        theta = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)
        
    return theta, cost

初始化一些附加变量 - 学习速率α（alpha）和要执行的迭代次数（iters）。

alpha = 0.01
iters = 1000

现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集

g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g

matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

最后，我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）。

computeCost(X, y, g)

4.515955503078914

现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。fig代表整个图像，ax代表实例

subplots() 函数，它的使用方法和 subplot() 函数类似。其不同之处在于，subplots() 既创建了一个包含子图区域的画布，又创建了一个 figure 图形对象，而 subplot() 只是创建一个包含子图区域的画布。
subplots 的函数格式如下：

fig , ax = plt.subplots(nrows, ncols)
nrows 与 ncols 表示两个整数参数，它们指定子图所占的行数、列数。

函数的返回值是一个元组，包括一个图形对象和所有的 axes 对象。其中 axes 对象的数量等于 nrows * ncols，且每个 axes 对象均可通过索引值访问（从1开始）。

x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100) # 抽100个样本
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x) # g[0, 0] 代表theta0 ,g[0, 1]代表theta1

fig, ax = plt.subplots(figsize = (12, 8))
ax.plot(x, f, 'r', label = 'Prediction') # 绘制折线图
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc = 4) # 显示标签位置
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show() # 显示图像

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由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。请注意，代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。

arange()函数：类似于python的内置函数range()，通过指定开始值、终值和步长来创建表示等差数列的一维数组，返回给定间隔内的均匀间隔值，注意得到的结果数组不包含终值。

arange([start,] stop[, step,], dtype=None)

fig, ax = plt.subplots(figsize = (12, 8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YW4F6iXB-1651748085473)(ML-Exercise_1.1_files/ML-Exercise_1.1_38_0.png)]

3.多变量线性回归

练习1还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。我们使用我们已经应用的计数来分析数据集。

path = 'ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedeooms', 'Price'])
data2.head()

对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。这个对于pandas来说很简单

如果这个房子价格不归一化，它的数量级和你输入值归一化数量级差别太大，几十万的数量级和个位小数做回归，就不能保证收敛了 预测的y和实际上y几十万差的太多了

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()

现在我们重复第1部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序

# add ones column
data2.insert(0, 'Ones', 1)

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]

# convert to matrices and initialine theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))

#perform linear regression on the data set
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)

# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2)

0.1307033696077189

我们也可以快速查看这一个的训练进程

fig, ax = plt.subplots(figsize = (12, 8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-J5AUP8b6-1651748085474)(ML-Exercise_1.1_files/ML-Exercise_1.1_47_0.png)]

4.normal equation (正规方程) （选做）

正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：$$\frac{\partial J({\theta }_j)}{\partial {\theta }_j}=0$$
假设我们的训练集特征矩阵为X（包含了$X_0=1$）并且我们的训练集结果为向量y，则利用正规方程解出向量$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$。上标T表示矩阵转置，上标-1代表矩阵的逆。设矩阵$A=X^{T}X$，则：$(X^{T}X{)}^{-1}=A^{-1}$

梯度下降与正规方程的比较：

梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型

正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算$(X^{T}X{)}^{-1}$，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为$O(n_3)$，通常来说当n小于10000时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型。

np.linalg.inv求逆操作 @相对于dot(),dot函数可以通过numpy库调用，也可以由数组实例对象进行调用。a.dot(b)与np.dot(a,b)效果相同。

# 正规方程
def normalEqn(X, y):
    # your code here (appro ~1 lines)
    theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y
    return theta

final_theta2 = normalEqn(X, y) # 感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2

matrix([[-3.89578088],
        [ 1.19303364]])

# 梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

在练习2中，我们将看看分类问题的逻辑回归。
^{TX$，则：$(X}TX)^{-1}=A{-1}$<br>梯度下降与正规方程的比较：<br>梯度下降：需要选择学习率\alpha ，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型<br>正规方程：不需要选择学习率\alpha ，一次计算得出，需要计算$(X^TX){-1}$，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为$O(n_3)$，通常来说当n小于10000时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型。

np.linalg.inv求逆操作 @相对于dot(),dot函数可以通过numpy库调用，也可以由数组实例对象进行调用。a.dot(b)与np.dot(a,b)效果相同。

# 正规方程
def normalEqn(X, y):
    # your code here (appro ~1 lines)
    theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y
    return theta

final_theta2 = normalEqn(X, y) # 感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2

matrix([[-3.89578088],
        [ 1.19303364]])

# 梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

在练习2中，我们将看看分类问题的逻辑回归。