扩展欧几里得求同余方程组

题目给定

x三 mi (mod ai)，求一个最小的非负整数 ​​x​​​ 即
x 三 m1 (mod a1)
x三 m2 (mod a2)
…
x三 mk (mod ak)

对于线性同余方程组，可以用中国剩余定理来解，但是要求m1,m2,…,mk两两互质
所以此题不能用中国剩余定理！

先解第1、2个式子
a1 * k1 + m1 = x
a2 * k2 + m2 = x
联立得：a1 * k1 - a2 * k2 = m2 - m1 （1）

可以利用exgcd解方程 a1 * k1 - a2 * k2 = gcd(a1, a2) = d，
求出来​​​d​​之后，判断 (m2 - m1) 是否是 d的整数倍，如果不是则无解！！！

如果是，则对于上式子解出来的 k1 *= b (令 b = (m2 - m1) / d)，
此时 k1、k2 的通解是
k1’ = k1 + k * (a2 / d)
k2’ = k2 + k * (a1 / d)
（因为等式左边第一项的系数是正的，第二项的系数是负的，所以此处是的k2’也是加）

证明：k1’和k2’也满足（1）式

a1 * k1’ - a2 * k2’ = m2 - m1 （2）
= a1 * (k1 + k * (a2 / d)) - a2 * (k2 + k * (a1 / d))
==> a1 * k1 + k * (a2 * a1 /d) - a2 * k2 - k * (a2 * a1 / d)
= a1 * k1 - a2 * k2 = m2 -m1，
所以（1） == （2）

k1’ = k1 + k * (a2 / d)
<==> k1’ 三 k1 (mod a2 / d)
所以所有的​​​k1’​​​(包括当前​​k1​​​)
都对​​​a2 / d​​​ ​​同余​​​且所有的​​k1’​​​都满足 （1） 式，
设 b = abs(a2 / d)
所以 k1’ = (k1 % b + b) % b 是最小的非负整数解。

将 k1 = k1 + k (a2 / d) 带入 x = a1 * k1 + m1
==> x = a1 * (k1 + k (a2 / d)) + m1
= a1 * k1 + k * (a2 * a1 / d) + m1
= (a1 * k1 + m1) + k * lcm(a1, a2) (此时的a1，k1, lcm(a1, a2), m1都是求出来的)

x = m + k * a （可以将上式看成此种形式），这样就可以与
x = m3 + k3 * a3 进行联立求解，然后一直递归下去，
直到和最后一个式子 x = mk + k * ak 联立

求出来最终的
x = m + k * a
相当于 x 三 m (mod a)，(m、x对a同余，即x、a在mod a 的意义下相同)
所以要求的最小的非负的​​​x​​​:
x = (m % a + a) % a

​​AC code​​

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    
    if(!b){
        
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    
    y -= a / b * x;
    
    return d;
}


int main(){
    
    int t;
    
    cin >> t;
    
    ll a1, m1, a2, m2, k1, k2;
    
    cin >> a1 >> m1;
    
    bool flag = false;
    
    for(int i = 0; i < t - 1; i++){
        
        cin >> a2 >> m2;
        
        // 求出 gcd(a1, a2) 和 k1, k2 的一组解
        ll d = exgcd(a1, a2, k1, k2);
        
        // 无解的情况
        if((m2 - m1) % d){
            
            flag = true;
            break;
        }
        
        // 相当于对 a1 * k1 + a2 * k2 = d 等式两边同乘 (m2 - m1) / d
        k1 *= (m2 - m1) / d;
        
        ll b = abs(a2 / d);
        // 求得k1的最小的非负整数解
        k1 = (k1 % b + b) % b;
        
        // 对 m1, a1 进行替换迭代求解
        m1 = a1 * k1 + m1;
        a1 = abs(a1 * a2 / d);  // 保证 a1 非负
    }
    
    if(flag) puts("-1");
    else printf("%lld\n", (m1 % a1 + a1) % a1);
    
    return 0;
}