莫队算法的原理讲解，就不多做解释，网上一大片
学习资料推荐：
https://www.luogu.org/blog/codesonic/Mosalgorithm
莫涛大神的知乎
分块思想和时间复杂度
这篇文章的分块思想（如何让L和R这两个指针变得更少）和普通莫队的时间复杂度证明不是很好。
在上篇文章的时候我们提到用分块的思想来优化：对于两个询问，若在其l在同块，那么将其r作为排序关键字，若l不在同块，就将l作为关键字排序（这就是双关键字）
也就是说这个序列我们分成了
这样就可以优化时间复杂度么，我们看一下严格的证明（摘自大米饼的博客）：
首先，枚举m个答案，就一个m了。设分块大小为unitl
下面给出证明：
我们分类讨论：
①l的移动：若下一个询问与当前询问的l所在的块不同，那么只需要经过最多2*unit步可以使得l成功到达目标.复杂度为：O(m*unit)
②r的移动：r只有在Be[l]相同时才会有序（其余时候还是疯狂地乱跳，你知道，一提到乱跳，那么每一次最坏就要跳n次！），Be[l]什么时候相同？在同一块里面l就Be[]相同。对于每一个块，排序执行了第二关键字：r。所以这里面的r是单调递增的，所以枚举完一个块，r最多移动n次。总共有n/unit个块:复杂度为：O(n*n/unit)
总结：O(n*unit+n*n/unit)（n,m同级，就统一使用n）
根据基本不等式得：当unit为sqrt(n)时，得到莫队算法的真正复杂度：
O(n*sqrt(n))
优化：
快读快写就不说了（很快的）
奇偶性排序
学习文章还提到了：奇偶性排序
这样能快是因为右指针移到右边后不用再跳回左边，而跳回左边后处理下一个块又要跳回右边，这样能减少一半操作，理论上能快一倍
代码：
//return pos[a.l]<pos[b.l]||(pos[a.l]==pos[b.l]&&(pos[a.l]&1?a.r<b.r:a.r>b.r));///奇偶排序
分块的优化
sz=n/sqrt(m*2/3);
普通莫队模板
///莫队算法模板：求区间不同数的个数
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
const int maxn=1000005;
typedef long long ll;
int n,m,k;
//莫队算法主要处理离线问题，查询只给出L,R
//当[L,R]很容易向[L-1,R],[L+1,R],[L,R-1],[L,R+1]转移时可用莫队
//注意转移的时候先扩张再收缩，L先向右，L再向左，最后再收缩
//add就是当前区间添加某元素时要做的操作
//del就是当前区间删除某元素时要做的操作
//add，del函数写的时候都要注意结构顺序
struct node
{
int l,r,id;
}Q[maxn]; ///保存询问值
int pos[maxn];///保存所在块
bool cmp(const node &a,const node &b)
{
return pos[a.l]<pos[b.l]||(pos[a.l]==pos[b.l]&&(pos[a.l]&1?a.r<b.r:a.r>b.r));///奇偶排序
//if(pos[a.l]==pos[b.l]) return a.r<b.r;//先按l所在的块排，如果相等就按r排
//else return pos[a.l]<pos[b.l];
}
ll gcd_(ll a,ll b)
{
return b==0?a:gcd_(b,a%b);
}
int num[maxn*2];///保存区间的个数
int a[maxn];
ll ans[maxn],ans2[maxn];
int L=0,R=0;
ll Ans=0;
void add(int x)
{
num[a[x]]++;
if(num[a[x]]==1) Ans++;
}
void del(int x)
{
num[a[x]]--;
if(num[a[x]]==0) Ans--;
}
int main()
{ int T;
scanf("%d",&T);
int cas=0;
while(T--)
{
memset(num,0,sizeof(num));
cas++;
scanf("%d%d",&n,&m);
int sz=n/sqrt(m*2/3*1.0);
//int sz=sqrt(n*1.0);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
pos[i]=i/sz;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r);
Q[i].id=i;
}
sort(Q+1,Q+1+m,cmp);
num[0]=0;
L=1;R=0;Ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
while(R<Q[i].r)
{
R++;
add(R);
}
while(L>Q[i].l) ///前缀和L+1>Q[i].l
{
L--;
add(L);
}
while(L<Q[i].l)///前缀和L+1<Q[i].l
{
del(L);
L++;
}
while(R>Q[i].r)
{
del(R);
R--;
}
ans[Q[i].id]=Ans;
}
printf("Case %d:\n",cas);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
}
return 0;
}
带修改的莫队
///带莫队算法模板：求区间不同数的个数+单点修改
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
const int maxn=1000005;
typedef long long ll;
void add(int x);
void del(int x);
void modify(int x,int ti); //这个函数会执行或回退修改ti（执行还是回退取决于是否执行过，具体通过swap实现），x表明当前的询问是x，即若修改了区间[q[x].l,q[x].r]便要更新答案
int sz,cnt[1000010],a[50010],Ans,ans[50010];
struct Change
{
int p,col;
}c[50010];
struct Query
{
int l,r,t,id;
bool operator<(Query& b)
{
return l/sz==b.l/sz?(r/sz==b.r/sz?t<b.t:r<b.r):l<b.l;
}
}q[50010];
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
sz=pow(n,0.66666);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
char op[10];
int ccnt=0,qcnt=0;
for (int i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%s",op);
if (op[0]=='Q')
{
++qcnt;
scanf("%d%d",&q[qcnt].l,&q[qcnt].r) ;
q[qcnt].t=ccnt;
q[qcnt].id=qcnt;
}
else
{
++ccnt;
scanf("%d%d",&c[ccnt].p,&c[ccnt].col);
}
}
sort(q+1,q+qcnt+1);
int l=1,r=0,now=0;
Ans=0;
for (int i=1;i<=qcnt;++i)
{
while (r<q[i].r)
{
add(a[++r]);
}
while(l>q[i].l)
{
add(a[--l]);
}
while (l<q[i].l)
{
del(a[l++]);
}
while (r>q[i].r)
{
del(a[r--]);
}
while (now<q[i].t)
{
modify(i,++now);
}
while (now>q[i].t)
{
modify(i,now--);
}
ans[q[i].id]=Ans;
}
for (int i=1;i<=qcnt;++i)
{
cout<<ans[i]<<endl;
}
}
return 0;
}
void add(int x)
{
cnt[x]++;
if (cnt[x]==1)
{
++Ans;
}
}
void del(int x)
{
cnt[x]--;
if (cnt[x]==0)
{
--Ans;
}
}
void modify(int x,int ti)
{
if (c[ti].p>=q[x].l&&c[ti].p<=q[x].r)
{
del(a[c[ti].p]);
add(c[ti].col);
}
swap(a[c[ti].p],c[ti].col);
}
例题：
【BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)】 (莫队算法+数学公式）
Codeforces617 E . XOR and Favorite Number (莫队算法+异或)
1188 - Fast Queries (莫队算法)
NBUT 1457 Sona （莫队算法+离散化）
Codeforces - 220B Little Elephant and Array （莫队模板题+离散化）
codeforces 86D. Powerful array (莫队算法）
P1903 [国家集训队]数颜色 / 维护队列 （带修莫队算法模板：求区间不同数的个数+单点修改）
codeforces 940f Machine Learning 【 带修改莫队+离散化】