迷宫问题分析

迷宫问题是搜索(Search)的经典问题，寻路是迷宫问题的核心。在某些问题中还会增加体力值的限制。本文主要使用深度优先搜索(DFS)进行迷宫问题的求解。

深度优先搜索

深度优先搜索的思想是从一个关键点开始，沿着一条路径一直走到尽头，如果在该路径不能发现目标解，则回溯到关键位置，进行下一条路径的搜索。

​​迷宫问题 I​​

问题描述

定义一个只包含0和1的二维数组N*M，它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的路线。入口点为[0,0],既第一格是可以走的路。

输入描述：

输入两个整数，分别表示二维数组的行数，列数。再输入相应的数组，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路。数据保证有唯一解,不考虑有多解的情况，即迷宫只有一条通道。

输出描述：

左上角到右下角的最短路径。

问题分析

该问题是一个寻找出口最短路径的问题。由于题目明确说明数据保证有唯一解，所以只需要找到某条路径可到达出口即可。这种路径搜索的问题，可以考虑用深度优先搜索解决。

另外题目要求输出起点到终点的路径坐标，由于搜索路径过程中路径节点是不断变化的（需要不断调整路径坐标），所以我们需要一个容器来存储合法路径，该容器具有后进先出的特性，所以选择栈进行存储。

首先进行搜索部分的代码分析，具体操作是：在当前位置进行上、下、左、右四个方向的搜索，若目标位置越界则直接返回​false​，若目标位置为终点，则返回​true​。为了避免重复搜索进入死循环，需要标记已经搜索过的位置。

bool FindPath(vector<vector<int>>& maze, int row, int col, pair<int, int> pos)
{
    int x = pos.first;
    int y = pos.second;

    if(x < 0 || x >= row || y < 0 || y >= col || maze[x][y] != 0)
    {
        //越界或撞墙，返回false
        return false;
    }
    if((x == row - 1) && (y == col - 1))
    {
        //到达终点，一路返回true
        return true;
    }

    maze[x][y] = 2;//标记已搜索位置
    //递归搜索四个方向
    bool res = FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x - 1, y)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x + 1, y)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x, y - 1)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x, y + 1));

    return res;
}

另外要记录路径坐标，具体操作是：搜索到一个新位置时，首先将该位置的坐标存储在栈中，若该位置不合法，则将该坐标出栈。为了调整路径方便，用一个全局变量​path​进行存储。在上面代码的基础上添加记录坐标的部分代码。

bool FindPath(vector<vector<int>>& maze, int row, int col, pair<int, int> pos)
{
    int x = pos.first;
    int y = pos.second;
    path.push(pos);//首先将坐标入栈
    if(x < 0 || x >= row || y < 0 || y >= col || maze[x][y] != 0)
    {
        path.pop();//不合法，将坐标出栈
        return false;
    }
    if((x == row - 1) && (y == col - 1))
    {
        return true;
    }

    maze[x][y] = 2;
    bool res = FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x - 1, y)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x + 1, y)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x, y - 1)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x, y + 1));

    if(!res) {
        //该位置的四个方向都不能到达终点，将该位置坐标出栈
        path.pop();
    }
    return res;
}

在打印路径坐标时，由于栈先进后出的性质，要借助一个辅助栈进行倒数据和打印。

void PrintPath(stack< pair<int, int> >& pt)
{
    stack< pair<int, int> > rPath;//辅助栈
    //倒数据
    while(!pt.empty())
    {
        rPath.push(pt.top());
        pt.pop();
    }
    //打印
    while(!rPath.empty())
    {
        cout << "(" << rPath.top().first << "," << 
        rPath.top().second << ")" << endl;
        rPath.pop();
    }
}

完整代码

stack<pair<int, int>> path;

void MazeInput(vector<vector<int>>& maze, int row, int col)
{
    for(int i = 0; i < row; i++)
    {
        for(int j = 0; j < col; j++)
        {
            cin >> maze[i][j];
        }
    }
}

bool FindPath(vector<vector<int>>& maze, int row, int col, pair<int, int> pos)
{
    int x = pos.first;
    int y = pos.second;
    path.push(pos);
    if(x < 0 || x >= row || y < 0 || y >= col || maze[x][y] != 0)
    {
        path.pop();
        return false;
    }
    if((x == row - 1) && (y == col - 1))
    {
        return true;
    }

    maze[x][y] = 2;
    bool res = FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x - 1, y)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x + 1, y)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x, y - 1)) ||
    FindPath(maze, row, col, pair<int, int>(x, y + 1));

    if(!res){
        path.pop();
    }
    return res;
}

void PrintPath(stack< pair<int, int> >& pt)
{
    stack< pair<int, int> > rPath;
    while(!pt.empty())
    {
        rPath.push(pt.top());
        pt.pop();
    }
    while(!rPath.empty())
    {
        cout << "(" << rPath.top().first << "," << 
        rPath.top().second << ")" << endl;
        rPath.pop();
    }
}

int main()
{
    int row = 0;
    int col = 0;
    cin >> row >> col;
    vector<vector<int>> maze(row, vector<int>(col, 0));
    MazeInput(maze, row, col);
    pair<int, int> pos(0, 0);
    FindPath(maze, row, col, pos);
    PrintPath(path);
    return 0;
}

​​迷宫问题 II​​

问题描述

小青蛙有一天不小心落入了一个地下迷宫,小青蛙希望用自己仅剩的体力值P跳出这个地下迷宫。为了让问题简单,假设这是一个n*m的格子迷宫,迷宫每个位置为0或者1,0代表这个位置有障碍物,小青蛙达到不了这个位置;1代表小青蛙可以达到的位置。小青蛙初始在(0,0)位置,地下迷宫的出口在(0,m-1)(保证这两个位置都是1,并且保证一定有起点到终点可达的路径),小青蛙在迷宫中水平移动一个单位距离需要消耗1点体力值,向上爬一个单位距离需要消耗3个单位的体力值,向下移动不消耗体力值,当小青蛙的体力值等于0的时候还没有到达出口,小青蛙将无法逃离迷宫。现在需要你帮助小青蛙计算出能否用仅剩的体力值跳出迷宫(即达到(0,m-1)位置)。

输入描述：

输入包括n+1行:
第一行为三个整数n,m(3 <= m,n <= 10),P(1 <= P <= 100)
接下来的n行:
每行m个0或者1,以空格分隔

输出描述：

如果能逃离迷宫,则输出一行体力消耗最小的路径,输出格式见样例所示;如果不能逃离迷宫,则输出"Can not escape!"。 测试数据保证答案唯一。

问题分析

本题与上一个问题相似，额外加入了 体力值 的概念。当一个矩阵被确定时，则小青蛙距离终点的水平位移即被确定，即小青蛙水平移动消耗的体力已被确定。则现在只考虑竖直方向小青蛙的移动。小青蛙向上移动一步消耗 3 体力值，向下移动不消耗体力值，为了尽量减少体力值的消耗，应尽量减少青蛙竖直移动的位移。所以问题就转化成了寻找到达终点的最短路径的问题。

解题策略为：寻找所有可行路径，在此期间记录最短路径。

与普通寻路问题不同的是，当搜索到一条可行路径时不能直接一路返回，而是回到一个 关键位置 ，在该关键位置继续进行其他路径的搜索。

需要注意的是，因为要进行重复搜索，所以当返回时，要将该位置重新置为 1 ，以使后续的搜索正常进行。

为了使读者注意到栈拷贝时的问题，本题使用C语言描述。

ST path;//记录路径
ST minPath;//记录最短路径

void FindPath(int** maze, int row, int col, int x, int y, int p)
{
    int* Pos = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);
    Pos[0] = x;
    Pos[1] = y;
    StackPush(&path, Pos);

    if (x < 0 || x >= row || y < 0 || y >= col || maze[x][y] != 1){
        StackPop(&path);
        return;
    }

    //到达终点，检查并记录目前的最短路径
    if ((x == 0) && (y == col - 1))
    {
        if (p >= 0 && (StackEmpty(&minPath) || StackSize(&path) < StackSize(&minPath)))
        {
            StackCopy(&minPath, &path);
            //注意此时不能直接return
            //终点位置上下左右四个方向均无法到达，故执行：从终点位置向前重置路径为 1
        }
    }

    maze[x][y] = 2;

    FindPath(maze, row, col, x - 1, y, p - 3);
    FindPath(maze, row, col, x + 1, y, p);
    FindPath(maze, row, col, x, y - 1, p - 1);
    FindPath(maze, row, col, x, y + 1, p - 1);

    maze[x][y] = 1;//重新将该位置记为 1
    StackPop(&path);
}

在进行栈拷贝时，不能直接进行赋地址拷贝，而需要将栈数据拷贝到目标栈中。（深拷贝）

//栈拷贝
void StackCopy(ST* sTDest, ST* sTSour)
{
    StackDestory(sTDest);
    StackInit(sTDest);
    sTDest->data = (STDataType*)malloc(sizeof(STDataType) * StackSize(sTSour));
    memcpy(sTDest->data, sTSour->data, sizeof(STDataType) * StackSize(sTSour));
    sTDest->top = sTSour->top;
    sTDest->capacity = sTSour->capacity;
}

在入栈时，要先检验此条路径到达终点时体力值是否大于0，否则青蛙无法到达终点，不入最小栈。

完整代码

ST path;//记录路径
ST minPath;//记录最短路径

void PrintStack(ST* ps)
{
    ST rPath;
    StackInit(&rPath);
    while (!StackEmpty(ps))
    {
        StackPush(&rPath, StackTopData(ps));
        StackPop(ps);
    }
    StackDestory(ps);
    ps = NULL;
    while (StackSize(&rPath) > 1)
    {
        int* tmp = StackTopData(&rPath);
        printf("[%d,%d],", tmp[0], tmp[1]);
        StackPop(&rPath);
    }
    int* tmp = StackTopData(&rPath);
    printf("[%d,%d]", tmp[0], tmp[1]);
    StackPop(&rPath);

    StackDestory(&rPath);
}
//栈拷贝
void StackCopy(ST* sTDest, ST* sTSour)
{
    StackDestory(sTDest);
    StackInit(sTDest);
    sTDest->data = (STDataType*)malloc(sizeof(STDataType) * StackSize(sTSour));
    memcpy(sTDest->data, sTSour->data, sizeof(STDataType) * StackSize(sTSour));
    sTDest->top = sTSour->top;
    sTDest->capacity = sTSour->capacity;
}

void FindPath(int** maze, int row, int col, int x, int y, int p)
{
    int* Pos = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);
    Pos[0] = x;
    Pos[1] = y;
    StackPush(&path, Pos);

    if (x < 0 || x >= row || y < 0 || y >= col || maze[x][y] != 1){
        StackPop(&path);
        return;
    }

    if ((x == 0) && (y == col - 1))
    {
        if (p >= 0 && (StackEmpty(&minPath) || StackSize(&path) < StackSize(&minPath)))
        {
            StackCopy(&minPath, &path);
            //注意此时不能直接return
            //终点位置上下左右四个方向均无法到达，故执行：从终点位置向前重置路径为 1
        }
    }

    maze[x][y] = 2;

    FindPath(maze, row, col, x - 1, y, p - 3);
    FindPath(maze, row, col, x + 1, y, p);
    FindPath(maze, row, col, x, y - 1, p - 1);
    FindPath(maze, row, col, x, y + 1, p - 1);

    maze[x][y] = 1;
    StackPop(&path);
}

int main()
{
    int row = 0;
    int col = 0;
    int p = 0;
    scanf("%d %d %d", &row, &col, &p);

    int** maze = (int**)malloc(sizeof(int*) * row);
    for (int i = 0; i < row; i++){
        maze[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * col);
    }

    for (int i = 0; i < row; i++)
    {
        for (int j = 0; j < col; j++){
            scanf("%d", &maze[i][j]);
        }
    }

    StackInit(&path);
    StackInit(&minPath);

    FindPath(maze, row, col, 0, 0, p);

    if(!StackEmpty(&minPath))
    {
        PrintStack(&minPath);
    }
    else
    {
        printf("Can not escape!\n");
    }

    for (int i = 0; i < row; i++)
    {
        free(maze[i]);
        maze[i] = NULL;
    }
    maze = NULL;
    return 0;
}