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极分解:A=QS

1.极分解(Polar Decomposition)

1.1 欧拉公式推导

每一个复数 x + i y x+iy x+iy 都有一个极坐标形式 r e i θ re^{i\theta} reiθ

x + i y = r c o s θ + i r s i n θ = r ( c o s θ + i s i n θ ) = r e i θ x+iy=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} x+iy=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)=reiθ

1.2 极分解

正交矩阵 Q Q Q(关于 e i θ e^{i\theta} eiθ,旋转作用)、半正定矩阵 S S S(关于 r r r,缩放作用)


V T V = I V^TV=I VTV=I插入SVD分解
下图为SVD分解出的三个矩阵作用过程示意图

A = U Σ V T   A = U ( V T V ) Σ V T   A = ( U V T ) ( V Σ V T )   Q = U V T 、 S = V Σ V T   A = Q S A=U\Sigma V^T\\ ~\\ A=U(V^TV)\Sigma V^T\\ ~\\ A=(UV^T)(V\Sigma V^T)\\ ~\\ Q=UV^T、S=V\Sigma V^T\\ ~\\ A=QS A=UΣVT A=U(VTV)ΣVT A=(UVT)(VΣVT) Q=UVTS=VΣVT A=QS

例子:






Q = U V T Q=UV^T Q=UVT是离矩阵A最近的正交矩阵 对应 e i θ e^{i\theta} eiθ是单位圆上离 r e i θ re^{i\theta} reiθ最近的数


当将 σ m i n \sigma_{min} σmin 改写为 0 0 0 时,原来 A = σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T A=\sigma_1u_1v_1^T+\sigma_2u_2v_2^T A=σ1u1v1T+σ2u2v2T 变为了 σ 1 u 1 v 1 T \sigma_1u_1v_1^T σ1u1v1T 此时这个剩余部分最接近原矩阵 A A A

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