1.极分解(Polar Decomposition)
1.1 欧拉公式推导
每一个复数 x + i y x+iy x+iy 都有一个极坐标形式 r e i θ re^{i\theta} reiθ
x + i y = r c o s θ + i r s i n θ = r ( c o s θ + i s i n θ ) = r e i θ x+iy=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} x+iy=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)=reiθ
1.2 极分解
正交矩阵 Q Q Q(关于 e i θ e^{i\theta} eiθ,旋转作用)、半正定矩阵 S S S(关于 r r r,缩放作用)
将
V
T
V
=
I
V^TV=I
VTV=I插入SVD分解
下图为SVD分解出的三个矩阵作用过程示意图
A
=
U
Σ
V
T
A
=
U
(
V
T
V
)
Σ
V
T
A
=
(
U
V
T
)
(
V
Σ
V
T
)
Q
=
U
V
T
、
S
=
V
Σ
V
T
A
=
Q
S
A=U\Sigma V^T\\ ~\\ A=U(V^TV)\Sigma V^T\\ ~\\ A=(UV^T)(V\Sigma V^T)\\ ~\\ Q=UV^T、S=V\Sigma V^T\\ ~\\ A=QS
A=UΣVT A=U(VTV)ΣVT A=(UVT)(VΣVT) Q=UVT、S=VΣVT A=QS
例子:
Q = U V T Q=UV^T Q=UVT是离矩阵A最近的正交矩阵 对应 e i θ e^{i\theta} eiθ是单位圆上离 r e i θ re^{i\theta} reiθ最近的数
当将
σ
m
i
n
\sigma_{min}
σmin 改写为
0
0
0 时,原来
A
=
σ
1
u
1
v
1
T
+
σ
2
u
2
v
2
T
A=\sigma_1u_1v_1^T+\sigma_2u_2v_2^T
A=σ1u1v1T+σ2u2v2T 变为了
σ
1
u
1
v
1
T
\sigma_1u_1v_1^T
σ1u1v1T 此时这个剩余部分最接近原矩阵
A
A
A