Ⅰ. 前置知识：最大小项、布尔方程
0x00 卡诺图的定义
📚 定义：布尔方程
- letter ：一个常数或一个变量
- literal : 一个字母或其补码
eg.
0x01 乘积项与合项（Product and Sum term）
乘积项（Product term）：
Product term (product, term)
1
a non-constant literal
a conjunction of non-constant literals where no letter appears
more than once
例如：
，本算式中，
就是一个乘积项
合项（Sum term）：
Sum term
0
a non-constant literal
a disjunction of non-constant literals where no letter appears
more than once
0x02 最小项与最大项（Minterm and Maxterm）
📚 最小项的定义：
个变量
的最小项是
个因子的乘积。
一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，
其中 每个变量 都以它的 原变量 或 反变量的形式 在乘积中出现，且 仅出现一次。
我们称这个乘积项为该函数的一个标准积项 —— 最小项 (Minterm) 。
简单来说，最小项就是所有变量从头到尾只用一次的乘积项 (product term)，比如变量
：
我们通常用小写字母
来表示最小项，这里的
为下标，其确定方式如下：将最小项中的原变量记为 1，非变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数就是该最小项的下标
。
若将原变量记为 1，反变量记录 0，则对应十进制后的值则为
的表示方式：
既然下标
已经确认，我们就可以将
记为：
📚 最大项的定义：
对于一个
变量的函数，该和项包括
个变量中的每一个变量。
一个函数的某个和项包含了函数的全部变量，
若 每个变量 都以 原变量 或 反变量的形式 出现一次，且 仅出现一次，
我们称这个求和项为该函数的一个标准和项 —— 最大项 (Maxterm) 。
所有变量从头到尾只用一次的合项 (sum term)，称为最大项。比如变量
：
我们通常用大写字母
来表示最大项，最大项下标
确定方式与最小项下标的取值恰好相反。
若将原变量记为 0，反变量记录 1（与最小项相反），三个变量形成的八个最大项记为：
（这里采用了 "拔" 的写法，这也是可以的，某些教材是采用 ' 表示的，只是表示方法不同）
🔍 参照表： 
0x03 布尔方程式（Boolean function）
- 积之合 (Sum of product) ，简写为 ，用符号 表示。
- 析取范式 (disjunctive normal form) ，简写为 ，用符号 表示。
- 和之积 (Product of sum) ，简写为 ，用符号 表示。
- 合取范式 (conjunctive normal form) ，简写为 ，用符号 表示。
- 积之合的典范：极小项之和 (Canonical sum of product : sum of minterms) ：
- 合之积的典范：极大项之和 (Canonical product of sum : product of maxterms)
Ⅱ. 卡诺图（K-Map）
0x00 卡诺图介绍（Karnaugh Map1953.NOV）
卡诺图 是一种平面方格图，每个小方格代表逻辑函数的一个最小项，故又称为最小项方格图。 方格图中相邻两个方格的两组变量取值相比，只有一个变量的取值发生变化，按照这一原则得出的方格图（全部方格构成正方形或长方形）就称为卡诺方格图，简称卡诺图。
卡诺图是一种描述逻辑函数的特殊方格图。
每一个方格代表逻辑函数的一个最小项，且几何相邻的小方格具有逻辑相邻性。
即 两相邻的小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。
对于有
个变量的逻辑函数，其最小项有
个。因此该逻辑函数的卡诺图是由
个小方格构成的，每个小方格都满足逻辑相邻项的要求。
几何相邻：在几何位置上，上下左右或左右相邻
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
📚 在布尔逻辑的积项和式中：
若
蕴涵
，则乘积项
是布尔函数
的涵项（implicant）。更加准确的说：
- 是 个变量的布尔函数
- 是乘积项（Product term）
- 若对于使 得到值 1 的所有组合， 也等于 1，则 蕴涵 （ 是 的涵项）
这意味着在布尔空间的自然次序上
，比如函数：
蕴涵自
和很多其他的项: 它们是
的 涵项。
蕴含项（Implicant）：
个 1 的蕴含。
威拉德·冯·奥曼·蒯因 做过如下定义：
- 不包括在更大的蕴含（Implicant）中的蕴含。
- 为最少化文字数量的涵项，即如果从 P 去除任何 "文字"（literal）都导致 成为 的非涵项。
- 例如 100 和 101 是某逻辑函数的两个涵项，那么 10x 就是函数的一个质涵项，其中的 1 和 0 两个数字不可再去掉。
基本质涵项（essential prime implicant）:
- 在形成一个 prime Implicant 的 1 中，至少有一个不属于另一个 Implicant，而是属于自己的 Prime Implicant 捆绑包的 Prime Implicant。
- 蕴涵于不满足任何其他质涵项的最小项 (minterm) 的那些质涵项——若存在只被一个质涵项覆盖的最小项，则覆盖该最小项的质涵项为基本质涵项。
- 如果以卡诺图的形式来描述逻辑函数，可以发现只有一种方式可以圈选这个输入组合。
简化函数：包括全部
，和一部分非必要的（non-essential）
蕴含项（Implicant）：一个包含在函数
中的乘积项
首要隐含子（PI）：
- 一个不包括在 的任何其他蕴含中的蕴含（不能与另一个项结合以消除一个变量）
- 指包括一个不包括在任何其他 中的最小项的
⚡ 优化算法（Optimization Algorithm）
找到所有的质含项（prime implicants）
在解决方案中包括所有必要质涵项（Essential Prime Implicant）
选择一个最小成本的 非基本质涵项集合（set of non-essential prime implicants），以覆盖所有尚未覆盖的最小项（minterms）
0x01 卡诺图（Karnaugh Map）
0x02 变量图（variable map）
💭 变量图的例子：
0x03 三变量图（Three-variable Maps）
💬 观察：三变量和四变量地图上的相邻关系（Adjacencies on three- and four-variable maps）
0x04 进位与求和函数的地图表示（Map representation of carry and sum func）
💭 举个例子：
具有两个最小形式的函数的例子（Example Function with Two Minimal Forms）：
0x05 四变量图（Four-variable Maps）
💭 卡诺图的例子：
0x06 五变量图（A Five Veriable Map）
一张五变量地图由25=32个方块组成：
0x07 卡诺图无关项（K-map with Don’t Cares）
在数字逻辑中，函数的无关术语是输入序列，对于该序列，函数输出无关紧要。已知永远不会发生的输入是不可实现的术语。这两种类型的条件在逻辑设计中都以相同的方式处理，为简洁起见，可以统称为无关条件。实现该功能的逻辑电路的设计人员无需关心此类输入，但通常可以随意选择电路的输出，以生成最简单的电路。
有时，一个 function table 或 map 会存在一些并没有什么卵用的项目：
- 极小项（Minterm）的输入值永远不会出现
- 或者，极小项（Minterm）的输出值根本用不着
在这些情况下，我们不需要定义其输出值，因为根本就没有这个必要！
我们可以将这些输出值被定义为 "无关项"，即 Don’t cares
通过在函数表或映射中放置 " 无关条件的 "（加入一个 x ），就能降低逻辑电路的成本。
💭 举个例子：
- 一个逻辑函数的输入是
- 数字的二进制代码。只有 0 到 9 的代码被使用。1010 到 1111 这六串代码（10~15）从未出现过，可以将这些代码的输出值设为 x ，代表无关项。
🔺 下列红色表示的部分即为无关项 Don't cares ：
- 不完全指定函数的极小项展开（Minterm expansion for incompletely specified function）
- 不完全指定函数的极大项展开（Maxterm expansion for incompletely specified function）
极小项解：
（在极小项中不使用）
0x08 七段式显示器（A seven-segment display）
其真值表如下（Truth table of seven segment display）：
📌 [ 笔者 ] 王亦优
📃 [ 更新 ] 2022.
❌ [ 勘误 ] /* 暂无 */
📜 [ 声明 ] 由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，
本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！
📜 参考资料 Introduction to Logic and Computer Design. International edition, 2008 Alan B.Marcovitx McGraw-Hill Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. . 百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/. 卡诺图化简法_Samplay的博客_卡诺图 |
