拓端tecdat|R语言投资组合优化求解器：条件约束最优化、非线性规划求解

本文将介绍R中可用于投资组合优化的不同求解器。

通用求解器

通用求解器可以处理任意的非线性优化问题，但代价可能是收敛速度慢。

默认包

包stats（默认安装的基本R包）提供了几个通用的优化程序。

• optimize()。用于区间内的一维无约束函数优化（对于一维求根，使用uniroot()）。

1.  f <- function(x) exp(-0.5*x) * sin(10*pi*x)
2.  f(0.5)

1.   
2.   
3.  result <- optimize(f, interval = c(0, 1), tol = 0.0001)
4.  result
5.   
6.   
7.   

1.  # 绘制
2.  curve(0, 1, n = 200)

• ​​optim()通用优化，有六种不同的优化方法。​​

• ​​Nelder-Mead：相对稳健的方法（默认），不需要导数。​​
• ​​CG：适用于高维无约束问题的低内存优化​​
• ​​BFGS：简单的无约束的准牛顿方法​​
• ​​L-BFGS-B：用于边界约束问题的优化​​
• ​​SANN​​: 模拟退火法
• ​​Brent​​: 用于一维问题（实际上是调用optimize()）。

这个例子做了一个最小二乘法拟合：最小化

1.  # 要拟合的数据点
2.  # 线性拟合的l2-norm误差平方 y ~ par[1] + par[2]*x
3.  # 调用求解器（初始值为c(0, 1)，默认方法为 "Nelder-Mead"）。
4.  optim(par = c(0, 1), f, data = dat)
5.   
6.   
7.  # 绘制线性回归图

1.  # 与R中内置的线性回归进行比较
2.  lm(y ~ x, data = dat)

下一个例子说明了梯度的使用，著名的Rosenbrock香蕉函数：

，梯度

，无约束最小化问题

1.  # Rosenbrock香蕉函数及其梯度
2.  banana <- function(x)
3.  c(-400 * x[1] * (x[2] - x[1] * x[1]) - 2 * (1 - x[1]),
4.  200 * (x[2] - x[1] * x[1]))
5.  optim(c(-1.2, 1), f_banana)
6.   
7.   
8.   

optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")

下面的例子使用了界约束。

最小化

约束： 

1.  p <- length(x); sum(c(1, rep(4, p-1)) * (x - c(1, x[-p])^2)^2) }
2.  # 25维度约束
3.  optim(rep(3, 25), f,lower = rep(2, 25), upper = rep(4

这个例子使用模拟退火法（用于全局优化）。

1.  #全局最小值在-15左右
2.  res <- optim(50, f, method = "SANN")
3.   
4.   

1.   
2.  # 现在进行局部改进(通常只改进了一小部分)
3.  optim(res$par, f , method = "BFGS")

• constrOptim()。使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。

1.  # 不等式约束(ui %*% theta >= ci): x <= 0.9, y - x > 0.1
2.  constrOptim(c(.5, 0)

• ​​nlm()​​: 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化。

1.  nlm(f, c(10,10))
2.   

• ​​nlminb()​​: 进行无界约束优化。.

1.  nlminb(c(-1.2, 1), f)
2.   

1.  nlminb(c(-1.2, 1), f, gr)
2.   

optim

基础函数optim()作为许多其他求解器的包，可以方便地使用和比较。

1.  # opm() 可以同时使用几个方法
2.  opm( f , method = c("Nelder-Mead", "BFGS"))

全局优化

全局优化与局部优化的理念完全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图避免局部最优点）。

特定类别问题的求解器

如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用该类问题的专用求解器会更好。
 

最小二乘法 (LS)

线性最小二乘法（LS）问题是将

最小化，可能有界或线性约束。

线性规划(LP)

函数solveLP()，可以方便地解决以下形式的LP：

最小化：

约束：

1.  #> 加载所需软件包
2.   
3.   
4.  cvec <- c(1800, 600, 600) # 毛利率
5.  bvec <- c(40, 90, 2500) # 捐赠量
6.   
7.  # 运行求解器
8.  solveLP(maximum = TRUE)

混合整数线性规划 (MILP)

lpSolve（比linprog快得多，因为它是用C语言编码的）可以解决线性混合整数问题（可能带有一些整数约束的LP）。

1.   
2.  # 设置问题:
3.  # maximize x1 + 9 x2 + x3
4.  # subject to x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9
5.  # 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15
6.   
7.  # 运行求解
8.  res <- lp("max", f, con)
9.   
10.   

1.   
2.  # 再次运行，这次要求三个变量都是整数
3.  lp( int.vec = 1:3)

solution

二次规划 (QP)

可以方便地解决以下形式的QP

1.  最小化：
2.  约束：
3.   
4.  # 设置问题:
5.  # minimize -(0 5 0) %*% x + 1/2 x^T x
6.  # subject to A^T x >= b
7.  # with b = (-8,2,0)^T
8.  # (-4 2 0)
9.  # A = (-3 1 -2)
10.  # ( 0 0 1)
11.   
12.  #运行求解
13.  solve(Dmat,...)

解决具有绝对值约束和目标函数中的绝对值的二次规划。

二阶锥规划 (SOCP)

有几个包:

• ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个著名的、高效的、稳健的C语言库，用于解决凸问题。
• CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿方法的实现。

优化基础

我们已经看到了两个包，它们是许多其他求解器的包。

用于凸问题、MIP和非凸问题

ROI包为处理R中的优化问题提供了一个框架。它使用面向对象的方法来定义和解决R中的各种优化任务，这些任务可以来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性规划问题）。

LP – 考虑 LP:

最大化:

约束：

1.  #> ROI: R 优化基础设施
2.  #> 求解器插件: nlminb, ecos, lpsolve, scs.
3.  #> 默认求解器: auto.
4.   
5.  OP(objective = L_objective(c(3, 7, -12)),...,
6.  maximum = TRUE)
7.   
8.  #> 投资回报率优化问题:

1.   
2.  # 让我们来看看可用的求解器
3.   
4.  # solve it
5.  res <- ROI_solve(prob)
6.  res

MILP – 考虑先前的LP，并通过添加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.

1.  # 只需修改之前的问题
2.  types(prob) <- c("C", "I", "I")
3.  prob

BLP – 考虑二元线性规划 (BLP):

最小化：

约束：

1.  OP(objective = L_objective,..., ,
2.  types = rep("B", 5))
3.  ROI_solve(prob)
4.   
5.  #> Optimal solution found.
6.  #> The objective value is: -1.01e+02

SOCP – 考虑SOCP:

最大化:

约束:

并注意到SOC约束 

 可以写成

或 

，在代码中实现为：

。

1.  OP(objective = L_objective,...,
2.  maximum = TRUE)

SDP--考虑SDP:

最小化：

约束：

并注意SDP约束

可以写成

（大小为3是因为在我们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。

1.  OP(objective = L_objective,...,
2.  rhs ))
3.   

NLP – 考虑非线性规划(NLP)

最大化

约束

1.  OP(objective = F_objective,..., bounds ,
2.  maximum = TRUE)

凸优化

R为凸优化提供了一种面向对象的建模语言。它允许用户用自然的数学语法来制定凸优化问题，而不是大多数求解器所要求的限制性标准形式。通过使用具有已知数学特性的函数库，结合常数、变量和参数来指定目标和约束条件集。现在让我们看看几个例子。

最小二乘法 – 让我们从一个简单的LS例子开始：最小化

当然，我们可以使用R的基础线性模型拟合函数lm()。

1.  # 生成数据
2.  m <- 100
3.  n <- 10
4.  beta_true <- c(-4:5)
5.   
6.   
7.  # 生成数据
8.  res <- lm(y ~ 0 + X) # 0表示我们的模型中没有截距。
9.   

用CVXR来做

1.   
2.  result <- solve(prob)
3.  str(result)

我们现在可以很容易地添加一个限制条件来解决非负的LS。

1.  Problem(Minimize(obj), constraints = list(beta >= 0))
2.  solve(prob)

稳健的Huber回归 - 让我们考虑稳健回归的简单例子：

最小化

其中

1.  sum(huber(y - X %*% beta, M)
2.  Problem(Minimize(obj))
3.  solve(prob)
4.   

弹性网正则化 - 我们现在要解决的问题是：最小化

1.  # 定义正则化项
2.  elastic<- function(beta) {
3.  ridge <- (1 - alpha) * sum(beta^2)
4.  lasso <- alpha * p_norm(beta, 1)
5.   
6.   
7.  # 定义问题并解决它
8.   
9.  sum((y - X %*% beta)^2) + elastic(beta, lambda, alpha)
10.  Problem(Minimize(obj))
11.  solve(prob)

稀疏逆协方差矩阵--考虑矩阵值的凸问题：最大化

，条件是

1.  log_det(X) - matrix_trace(X %*% S)
2.  list(sum(abs(X)) <= alpha)

协方差--考虑矩阵值的凸问题：在

的条件下，最大化

。

1.   
2.  constr <- list(Sigma[1,1] == 0.2, Sigma[1,2] >= 0, Sigma[1,3] >= 0,
3.  Sigma[2,2] == 0.1, Sigma[2,3] <= 0, Sigma[2,4] <= 0,
4.  Sigma[3,3] == 0.3, Sigma[3,4] >= 0, Sigma[4,4] == 0.1)

投资组合优化--考虑马科维茨投资组合设计：最大化

，

1.  Problem(Maximize(obj), constr)
2.  solve(prob)

结论

R语言中可用的求解器的数量很多。建议采取以下步骤。

• 如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。
• 如果速度不够快，使用ROI。
• 如果仍然需要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则使用该类别专用的求解器（例如，对于LP，推荐使用lpSolve，对于QP则使用quadprog）。
• 然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。如果需要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的选择，它是许多全局求解器的包。