动态规划背包问题——完全背包

问题描述：
有n种物品，每种均有无穷多个。第i个物品的体积为vi，重量为wi。选一些物品装到容量为C的背包中，使得背包内物品在总体积不超过C的前提下重量尽量大。

问题分析：
开一个数组f[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大重量。
每种物品无穷个，所以还要有一个k遍历从0到“最大”。
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-kv[i]]+kw[i]);
注意一下，01背包是f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]);max中第一项是f[i-1][j]，而这里确是f[i][j]，为什么呢？想一下，当k=0时（也就是k刚开始遍历），f[i][j]是0，max右项就是f[i-1][j]。被包含进来了，而且k的遍历中，每次还要对f[i][j]进行更新，所以这里是f[i][j]而不是f[i-1][j]。

代码：

memset(f, 0, sizeof(f));
for (int i=1; i<=n; i++){
  for (int j=0; j<=c; j++){
    for (int k=0; k*v[i]<=j; k++){
      f[i][j]=max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }
  }
}

优化：
将原始算法的DP思想转变一下。
设f[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大重量。那么对于第i种物品的出现，我们对第i种物品放不放入背包进行决策。
如果不放那么f[i][j]=f[i-1][j]；如果确定放，背包中应该出现至少一件第i种物品，所以f[i][j]中至少应该出现一件第i种物品，即f[i][j]=f[i][j-v[i]]+w[i]。
为什么会是f[i][j-v[i]]+w[i]？因为我们前面已经最大限度的放了第i件物品,如果能放就放这最后的一件,（或者理解为前面已经往背包中放入了第i件物品，我们每一次只增加一件的往背包里放,而且只能增加一件,多了放不下）。

代码：

memset(f, 0, sizeof(f));
for (int i=1; i<=n; i++){
  for (int j=0; j<=c; j++){
    if (j>=v[i])
      f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]]+w[i]);//01背包为：max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    else
      f[i][j]=f[i-1][j];
  }
}

附滚动数组优化：

for (int i=1; i<=n; i++){
    int a, b;
    cin>>a>>b;
    for (int j=0; j<=v; j++){//注意这里变成了从左到右
      if (j>=a)
        f[j]=max(f[j], f[j-a]+b);
    }
  }

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