种群捕食和竞争模型
种群捕食模型
假设有两个物种，比如狼和羊在一个草原上，狼是捕食者，而羊是被捕食者，现假设羊的数量为 x ( t ) x(t) x(t) ，狼的数量为 y ( t ) y(t) y(t) 。对于羊来说，如果没有狼的话，且草原上的草是充足的，假设羊的自然增长率为 a a a (常数)，运用 M a l t h u s Malthus Malthus 模型有 d x d t = a x \frac{dx}{dt}=ax dtdx=ax现加入狼群，会使得羊的自然减少率上升，设羊在单位时间内遇到狼的次数为 b x y bxy bxy，方程变为 d x d t = a x − b x y \frac{dx}{dt}=ax-bxy dtdx=ax−bxy也可以理解为羊分为两部分，一部分是没被狼吃，一部分是被狼吃了。
同理，我们可以按照上述过程构建出狼的模型，狼也有自然增加率和自然减少率，若没有羊存在的话，狼的数量会减少也就是
d
y
d
t
=
−
c
y
\frac{dy}{dt}=-cy
dtdy=−cy，现加入羊群，狼的数量一般随着羊的数量减少而减少，增加而增加，所以用
d
x
y
dxy
dxy 来表示这种关系，方程变为
d
y
d
t
=
−
c
y
+
d
x
y
\frac{dy}{dt}=-cy+dxy
dtdy=−cy+dxy
这两个方程联立就是捕食模型：
{
d
x
d
t
=
x
(
a
−
b
y
)
d
y
d
t
=
y
(
d
x
−
c
)
\left\{ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}=x(a-by) \\ \frac{dy}{dt}=y(dx-c) \\ \end{aligned} \right.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧dtdx=x(a−by)dtdy=y(dx−c)
clear;clc;
f = dsolve('Dx=x(a-by),Dy=y(dx-c)','x(0)=x0,y(0)=y0','t');
f.x
f.y
得到结果为：
{
x
=
x
0
+
t
x
(
a
−
b
y
)
y
=
y
0
+
t
y
(
d
x
−
c
)
\left\{ \begin{aligned} x=x_{0}+tx(a-by) \\ y=y_{0}+ty(dx-c) \\ \end{aligned} \right.
{x=x0+tx(a−by)y=y0+ty(dx−c)
