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文章目录

• P5 独立性
• • 一.描述性定义
  • 二.数学定义
  • 三.多个事件的独立性
  • 四.独立性的判断
  • 五.独立重复试验

P5 独立性

一.描述性定义

• 设A、B为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响，则称事件A与B相互独立。
  $$P(B|A)=P(B),P(B|\bar{A})=P(B),P(A|B)=P(A),P(A|\bar{B})=P(A)$$

二.数学定义

1.Def：设A、B是两事件，如果满足等式：
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

2.$注意！$

• 与事件中的包含、相等、相容、对立关系不同，独立是从概率角度定义的。
• 互相独立 & 互不相容之间没有不然联系。特殊地，在$P(A)>0,P(B)>0$时，A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立。
  • 互相独立：$P(AB)=P(A)P(B)>0$
  • 互不相容：$P(AB)=P(\varnothing )=0$
• 必然事件 及 不可能事件与任意事件互相独立。

3.定理

• 设A、B是两事件，且$P(A)>0.$若A、B相互独立，则$P(B|A)=P(B)$，反之亦然。

• 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
  $$A与\bar{B},\bar{A}与B,\bar{A}与\bar{B}$$

三.多个事件的独立性

1.三个事件两两独立

Def：设A、B、C是三个事件，如果满足等式：
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\end{array}$$
则称事件A、B、C两两独立。

2.三个事件相互独立

Def：设A、B、C是三个事件，如果满足等式：
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$
则称事件A、B、C相互独立。

3.联系

• 相互独立$\Rightarrow$​两两独立，反之不成立。
  

4.推广：n个事件的独立性

• Def：一般设$A_1,A_2,\dots ,A_n$是$n(n⩾2)$个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于个事件概率之和，则称事件$A_1,A_2,\dots ,A_n$相互独立。

  • 共$C_n^2+C_n^3+\dots +C_n^n=2^n-n-1$个等式成立。

• 推论：

  • 若事件$A_1,A_2,\dots ,A_n(n⩾2)$相互独立，则其中任意$k(2⩽k⩽n)$个事件也是相互独立的。
  • 若事件$A_1,A_2,\dots ,A_n(n⩾2)$相互独立，则将事件$A_1,A_2,\dots ,A_n$中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

四.独立性的判断

1.直观性判断：

• 若试验独立，则其结果必然独立。
• 根据事件的实际意义取判断。

2.利用上述定义 及 定理判断。

五.独立重复试验

1.定义（独立试验序列）

​ 设$E_i(i=1,2,\dots )$是一列随机试验，$E_i$的样本空间Ω${}_i$，设$A_k$是$E_k$中的任一事件，$A_k\subset$Ω${}_k$，若$A_k$出现的概率都不依赖于其它各次试验$E_i(i\ne k)$的结果，则称$E_i$是$相互独立$的随机试验序列，简称$独立试验$序列。

2.n 重贝努里（Bernoulli）试验

​ 若n次重复试验具有下列特点：

• 每次试验的可能结果只有两个$A、\bar{A}$，且$P(A)=p,P(\bar{A}=1-p)$（在各次试验中p是常数，保持不变）；
• 各次试验的结果相互独立。

则称这n次重复试验为$n重贝努利（Bernoulli）试验$，简称为$贝努里概型$。

3.$Bernoulli$定理：

​ 在n 重贝努里试验中，事件A发生的概率为p，则事件A发生k次的概率为：
$$b(k;n,p)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$