第9章 矩阵的更多知识
矩阵的行列式
- 任何一个
方阵都存在一个标量，称为行列式，非方阵的行列式是未定义的 2x2矩阵行列式
3x3矩阵行列式
余子式从M去除第i行和第j列剩余的矩阵，代数余子式是标量
如何求出n*n行列式这里求的是4x4行列式
行列式的重要性质
- 矩阵积的行列式等于矩阵行列式积
|AB| = |A||B|，这个可以拓展到多矩阵情况 - 矩阵转置的行列式等于原矩阵行列式 ∣ M T ∣ = ∣ M ∣ |M^T| = |M| ∣MT∣=∣M∣
- 矩阵任意一行或任意一列全为0，行列式为0
- 交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负
行列式几何解释
2D中基向量为两边的平行四边形有符号的面积，有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位翻转，面积将为负3D中行列式等于变换后的基向量平行六面体的有方向体积，有方向体积是指如果变换后平行六面体由里向外翻转，体积将为负行列式的绝对值与面积和体积改变有关，行列式的符号与变换矩阵是否包含镜像或者投影，如果行列式等于0，说明变换包含投影，如果行列式为负说明包含镜像
矩阵的逆
- 方阵的逆和原方阵等于
单位矩阵 - 如果一个矩阵有逆，那么可以称为它是
可逆的或者是非奇异的，如果没有逆，说法刚好相反 奇异矩阵行列式为零，检测行列式的值，可以判断矩阵是否可逆标准伴随矩阵是M的代数余子式矩阵的转置矩阵，机座adjM- 一旦知道了
标准伴随矩阵就可以通过除以M的行列式求得矩阵的逆 其他求矩阵逆的方式高斯消元法矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置矩阵乘积的逆等于相反顺序矩阵逆的乘积
矩阵的逆的几何解释
变换撤销
正交矩阵
- 方阵M是正交的，当且仅当M和它的转置矩阵乘积等于单位向量 M M T = I MM^T=I MMT=I
- 根据上面矩阵逆的性质，矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置，可以求得
正交矩阵的转置等于正交矩阵的逆M T = M − 1 M^T = M^{-1} MT=M−1
正交矩阵的几何解释
- 正交矩阵对于求矩阵的逆很方便，但是如果知道这个矩阵是正交的呢？
根据上面的计算可以得知，一个矩阵正交必须满足：
矩阵每一行都为单位矩阵
矩阵所有行互相垂直 - 旋转和镜像是正交的，如果M是正交的 M T M^T MT也是正交的
正交基一组向量互相垂直但不全是单位向量标准正交基一组单位向量互相垂直
矩阵的正交化
- 有一些矩阵可以略微违反了正交矩阵，这时可能需要将矩阵正交化，可以采用
施密特正交化和其改进方式，这个我没看太懂，后面碰到了在研究
4x4齐次矩阵
首先明确一点4D向量和4x4矩阵只是对3D运算的一种方便的记法2D中的齐次坐标，形如(x, y, w)，想象在w=1平面的3D空间中，齐次坐标表示为(x, y, 1)，对于不在w=1平面上的点，投影到w=1平面，所以(x, y, w)在2D实际坐标为(x/w, y/w, w)3D中的齐次坐标同样(x, y, z, w)在3D实际点坐标为(x/w, y/w, z/w, w)
4x4平移矩阵
- 首先带着问题，为什么要弄出来一个4D坐标？
因为想用矩阵的乘法来代表平移，矩阵的乘法可以通过合并变换矩阵，达到一个变换矩阵包含多种变换(比如即旋转🈶平移) - 如下图，可以发现这个4x4的矩阵其实是4D的切变空间(对比第8章的切变内容)
- 其中
w变量可以开关平移部分，因为有些向量代表方向，而有些代表点
