向量的投影和投影向量是两个不同的概念。
前言
关于向量，以前我们学习了概念：向量的投影，现在新人教 \(A\) 版教材中又出现了新概念：投影向量，如何理解和区分这两个数学概念？这个我们得从向量的内积谈起：
向量内积
已知两个非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 由于我们研究的是自由向量，所以可以平移任意两个非零向量，使得其起点为同一个点，如图所示 ，它们的夹角为 \(\theta\) ， 我们把数量 \(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}\)\(|\cdot\)\(\cos\theta\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积 \(\big[\)或内积，由于用小圆点表示乘法，故也称为点乘，谨记不要写成叉乘 [1] ，如 \(\vec{a}\times\vec{b}\) \(\big]\) ， 记作 \(\vec{a}\cdot \vec{b}\)，
\[\bbox[15px,yellow,border:1px dashed red]{\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta}\]
规定: 零向量 \(\vec{0}\)
过点 \(A\) 做向量 \(\vec{b}\) 所在直线的垂线段，垂足为点 \(A_1\)，则有向线段 \(OA_1\) 称为向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\)
当\(0\leq\theta<\cfrac{\pi}{2}\)时，此投影为正，当\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)时，此投影为 \(0\)， 当\(\cfrac{\pi}{2}<\theta\leq \pi\)时，此投影为负。
由表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)可知 ，向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影为\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) [此为向量投影的数的表达]。 同理，向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 上的投影为\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)。
- 内积[ 点乘 ]的几何意义包括：
①. 表征或计算两个向量之间的夹角，从表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) ，可以分析得到，当已知 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\) 和 \(|\vec{a}|\)以及 \(|\vec{b}|\)
②. \(\vec{a}\) 向量在 \(\vec{b}\) 向量方向上的投影(或 \(\vec{b}\) 向量在 \(\vec{a}\)
投影向量
如下图所示，设 \(\vec{a}, \vec{b}\) 是两个非零向量， \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{CD}=\vec{b}\)， 我们考虑如下的变换: 过 \(\overrightarrow{AB}\) 的起点 \(A\) 和终点 \(B\)，分别作 \(\overrightarrow{CD}\) 所在直线的垂线， 垂足分别为 \(A_1\)，\(B_1\)，得到 \(\overrightarrow{A_1B_1}\)， 我们称上述变换为向量 \(\vec{a}\) 向 向量 \(\vec{b}\) 投影project，此处可以理解为在两个向量所在的平面内有一条和直线CD平行的线光源从上往下照射，从而使得向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的影子就是向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\)， \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量。且此投影向量\(\overrightarrow{A_1B_1}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)\(\cdot\)\(\vec{e}\)，其中 \(\theta\) 为向量 \(\overrightarrow{AB}\) 与向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 的夹角， 向量 \(\vec{e}\) 为向量 \(\overrightarrow{CD}\)
- 综上所述，向量的投影 是个数量，投影向量 是个向量。
典例剖析
【2018西安八校联考第5题】已知\(O\)是坐标原点，点\(A(2，1)\)，点\(M(x，y)\)是平面区域\(\begin{cases}y\leq x\\x+y\leq 1\\y\geq -1\end{cases}\)内的一个动点，则\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少？
【法1】：利用向量的坐标运算得到，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\)，故转化为求 \(2x+y\) 的最大值，即求 \(z=2x+y\) 的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。
【法2】：利用向量的投影的几何意义求解，说明：点\(M\)是三角形区域内部及边界上的一个动点，动画只做了点\(M\)在边界上的情形；
注：图中有向线段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，它是可正，可负，可零的；
\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)，其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值，
故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值，而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，
由图形可知，当点\(M(x，y)\)位于点\((2，-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大，故将点\((2，-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。
变式题：求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少？
分析：由上图可以看出，当两个向量的夹角为钝角时，其投影是负值，故当点\(M\)位于点\(C\)时，其内积最小，
此时将点\((-1，-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。
【2023人教A版高一第二册】已知 \(\triangle ABC\) 外接圆的圆心为 \(O\)， 半径为 \(1\)，\(2\overrightarrow{AO}\)\(=\)\(\overrightarrow{A B}\)\(+\)\(\overrightarrow{AC}\)， 且 \(\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)， 则向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为【\(\qquad\)】
$A.\cfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ $B.\cfrac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$ $C.\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ $D.-\cfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
解析：首先做出适合题意的示意图，此时并不能确定点 \(O\) 为 \(BC\) 的中点，由向量的平行四边形法则可知，\(\overrightarrow{A B}\)\(+\)\(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(\overrightarrow{AD}\)，故可知 \(2\overrightarrow{AO}\)\(=\)\(\overrightarrow{AD}\)，则可确定点 \(O\) 为 \(AD\) 的中点，且点 \(O\) 也为 \(BC\) 的中点，故可知 \(\angle A\)
又由 \(\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)，可知 \(\cfrac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{OA}|}=\sqrt{3}\)，即 \(\cfrac{|\overrightarrow{AB}|}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|}=\sqrt{3}\)，
也即 \(\cfrac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则 \(\cos\angle ABC=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
故 \(\angle ABC=\cfrac{\pi}{6}\)， \(\angle ACB=\cfrac{\pi}{3}\)，又 \(OA=1\)，可知 \(BC=2\)，\(AC=1\)，\(AB=\sqrt{3}\)，
按照投影向量的定义，向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为 \(|\overrightarrow{AB}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)\(\cdot\)\(\vec{e}\)，\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}\)，向量 \(\overrightarrow{AB}\) 与向量 \(\overrightarrow{BC}\) 的夹角为 \(\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5\pi}{6}\)，注意不是三角形的内角 \(\angle ABC\)，而向量 \(\vec{e}\) 为向量 \(\overrightarrow{BC}\) 的单位向量，\(\vec{e}\)\(=\)\(\cfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}\)\(=\)\(\cfrac{\overrightarrow{BC}}{2}\)，
这样可知向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为\(\sqrt{3}\times(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\times\cfrac{\overrightarrow{BC}}{2}=-\cfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)，故选 \(D\)
相关链接
1、平面向量错误收集
2、平面向量习题
- 由于对实数 \(a\)，\(b\) 而言，\(a\cdot b=ab=a\times b\)，受此影响，我们对向量之间的点乘往往不会引起足够的重视，以为\(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\)，这就大错特错了，\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\)称为向量的外积，在三维几何中，向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平面。
在 \(3D\) 图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如图所示
在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：\(|\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}|\) 在数值上等于由向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平行四边形的面积。
添加这段内容，仅仅为引起大家的注意，向量的内积的写法非常特别。
谨记，对向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 而言，\(\vec{a}\cdot \vec{b}\neq \vec{a}\times \vec{b}\)， ↩︎