背景介绍
静电学中的一些结论，会涉及到一些复杂函数的使用。有时我们想要进行结果的可视化展示直观感受推导的正确性。这时可以使用Mathematica丰富的绘图支持和数学运算函数支持来完成该任务。
推导
Schwartz-Christoffel变换提供了一个从复数平面
的封闭多边形内部到复数平面的无穷平行板的映射，正如下图所示。
这种类型的一种共形映射可以用来推导平行平板的电势的近似公式（考虑边缘效应）。
平面上点的电势容易计算出，并且可以通过反变换回到平面来得到应该的电势。
我们这里使用的共形变换是
效果大致如下图。
对
进行改写，
其中，如果条件良好满足一些要求，可以确定。
总之，用Lambert W函数的形式来写，就是
其中，
，表示向下取整，Im表示取虚部。在点处的电势是
Mathematica绘图
\[Phi][{x_, y_}] :=
With[{z = x + I y},
Im[z - 1 - ProductLog[Ceiling[(y - Pi)/(2 Pi)], Exp[z - 1]]]]
ContourPlot[\[Phi][{x, y}], {x, -2, 10}, {y, -20, 20},
Epilog -> {Red, Thickness[0.02], Line[{{-2, Pi}, {0, Pi}}],
Line[{{-2, -Pi}, {0, -Pi}}]}, ContourShading -> False,
Contours -> 20]