文章前后关联性较强，后文都是在前文的几何概念上展开。建议顺序阅读

文章目录

• 什么是矩阵乘法
• • 矩阵乘法的几何意义
  • 矩阵乘法运算上的几何意义
  • 矩阵乘法的运算律的几何视角证明
  • • 无交换率 AB!=BA
    • 有结合律 (AB) C = A (BC)
• 什么是行列式
• • 行列式的几何意义
  • 行列式为负数的情况：
• 什么是逆矩阵
• • 线性方程组
  • 秩与列空间
  • 秩与零空间
  • 线性方程组的求解---逆矩阵
• 什么是点积
• • 常见的点积几何意义解释：
  • 将点积与线性变化相关联
  • 启示：对偶性

什么是矩阵乘法

矩阵乘法的几何意义

由上文可知，矩阵是一种线性变换，若矩阵乘变量则会对变量进行线性变换。而矩阵乘矩阵，其实就是对一个线性变换进行线性变换，即线性变换的复合 （我们同样可以通过追踪基向量的变换来表示这种复合变换）

（注意：矩阵乘法从右到左读，就像复合函数 f ( g(x) ) ）

矩阵乘法运算上的几何意义

矩阵乘矩阵，是对一个线性变换进行线性变换，即对前一个线性变化的基分别进行线性变化

矩阵乘法的运算律的几何视角证明

无交换率 AB!=BA

易得矩阵乘法无交换律，因为易知线性变换的前后作用顺序不同造成的结果是不同的

有结合律 (AB) C = A (BC)

(AB) C —> C变换的基础上进行(AB)的复合变换，等价于C变换进行B变换再进行A变换（复合变换的几何意义）
A (BC) —> (BC)复合变换的基础上进行A变换，等价于C变换进行B变换再进行A变换（复合变换的几何意义）

因此二者都等价于 (ABC) ，即C变换先进行B变换再进行A变换

什么是行列式

行列式的几何意义

行列式表示的是一个线性变换对空间的挤压拉伸程度

二阶行列式：平行四边形的面积
三阶行列式：平行六面体的体积

矩阵的行列式的值 就是其代表的线性变换 对某一块空间(面积/体积)的 缩放比例

我们经常使用原基向量构成的1*1小方块作为基准来谈缩放比例，因为根据网格线平行且等距，1 *1小方块的缩放比例与其他所有特定的空间的缩放比例都相同

（将空间的缩放比例为0，即降维）

行列式为负数的情况：

（基向量 i 和 j 的位置关系改变，空间的定向在线性变换中被改变，动态体现就是：空间在线性变换中转了个面）

（二维中：一般基向量 i 在 j 的右边，如图变换后 i 在 j的左边，位置关系变换，空间的定向变换）

（三维中：空间的定向由右手法则判定）

什么是逆矩阵

线性方程组

线性代数之所以在很多个领域都会应用的主要原因是：它可以解特定的方程组（线性方程组）（注意：线性方程组中的方程只允许出现数乘和相加的操作，类似x²,sinx等式子是不能出现的）

线性方程组的求解可以写成矩阵与向量相乘等于一个向量的新形式

这样一来其线性方程组的几何意义就是：常数矩阵A将未知数向量 x经过线性变换后，与常数向量 v重叠

秩与列空间

秩（rank） — 描述线性变换后空间的维度大小。
eg: det(A) = 0, 当rank = 1时，A矩阵将空间压缩为一维直线，而当rank = 2时，A 矩阵将空间压缩为二维平面

列空间 — 矩阵的列空间是 矩阵所有可能的变换结果的集合（变为点,变为线,变为面等等）
（之所以称之为“ 列空间”的原因：矩阵所有可能变换出的空间，其实就是其列(基向量)张成的空间）

因此秩更准确的定义是：列空间的维度

秩与零空间

当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，称为满秩

原点处的情况：

1. 满秩矩阵下：
   由于线性变换中原点的位置不变，因此零向量在满秩矩阵的作用下仍位置不变，原点处只存在一个零向量 (满秩矩阵下唯一位置不变的向量)

2. 非满秩矩阵下：
   一系列的向量在降维的变换中变为零向量。原点处可能压缩了一个直线的向量甚至可能压缩了一平面的向量！
   经过矩阵变换后落在原点的向量构成矩阵的零空间或核

线性方程组的求解—逆矩阵

使用 Ax = v时有两种情况：

1. 当det（A）!= 0 ， 即线性变换未将空间降维,此时只存在一个对应的x，方程只有一个解

   这时在空间中只存在一个x我们可以通过倒带的方式由v找到x。

   这里说的倒带，其实指的是一种线性变换 — 逆矩阵 A^-1 ，(A^-1的核心是满足 A^-1A = I)

   此时x的解法为： A^-1Ax = A^-1 v —> x = A^-1 v

2. 当det（A）= 0 ， 即线性变换将空间降维，此时没有逆变换，但当向量x，v恰好同在降维上后的空间中时，那么解仍然存在

• 还有一种特殊的情况，当v 为零向量时，几何意义就是：x 变换后落在了零向量原点上，此时 x 就是矩阵的零空间

什么是点积

常见的点积几何意义解释：

点积是常用于解决向量指向和理解投影的有利几何工具

x • v 指 x在v上的投影 与 v 的乘积
（但是为什么点积会跟投影扯上关系呢 : )

将点积与线性变化相关联

如图：当且仅当原本图像上相互等距的一系列点，落到数轴上后也是等距的，多维到一维(一维数轴，上图为x轴)的变换是线性变换。

现在解决 矩阵值和向量值相同， 接着往下思考：

1. 我们有x • v ，以v 所在的向量为我们降维变换后的数轴

2. 为了求出该降维变换的矩阵，我们还是从基向量入手根据对称性原则，1*n矩阵的两元素 正是v 向量的坐标！

<------->

3. 故点乘x • v ，就是以 v向量坐标为矩阵元素的矩阵 对x 向量进行了线性变换(使x v共线) ，在图像上表现为，x线性变换至v所在直线上，即投影，在数值上表现为a * c + b *d，即向量对应相乘

启示：对偶性

向量的点乘中，向量对偶于一个高维到一维的线性变换

( 对偶性 ：即一种出乎意料但又自然的对应关系)