[abc]AtCoder Beginner Contest 207 E 动态规划前缀和优化

E.

$tag:$数组分段方案 动态规划 动态规划前缀和优化 同余
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题意 :
给定一个数组$a[]$,询问有多少种方式,可以将其分为任意段,使得其每段$B_i$满足$B_i\%i==0$

思路 :
首先这题想到的是 动态规划

状态表示 :
$dp[i][j]$,表示前$i$个数字,分成$j$段的合法方案

状态转移:
$f[i][j]=\sum _{(su{m}_i-su{m}_k)\%j==0}f[k][j-1]$

但是这种方法需要枚举$i,j,k$时间复杂度$O{n}^3$,显然是不行的

因此我们考虑优化
$$\begin{array}{rl}& (su{m}_i-su{m}_k)\%j==0\\ & su{m}_i\%j==su{m}_k\%j\end{array}$$

由上面的式子我们可以知道
现在我们只需要处理出满足$sum[i]\%j==sum[k]\%j$所有位置的$dp[k][j-1]$的和即可

因此我们再来一个$pre[j][t]$表示$sum[i]\%j==t$的$dp[i][j-1]$的和

因为我们是先处理出来$pre$然后再来更新$k$的因此,我们需要转换一下$i,j$的顺序

code :

const int N = 3e3+10,mod = 1e9+7;
int n;
ll a[N],pre[N][N],dp[N][N],sum[N];

void solve(){
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		sum[i]  = sum[i-1] + a[i];
	}
	
	pre[0][0] = 1;
	
	for(int j=1;j<=n;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			dp[i][j] = pre[sum[i]%j][j-1];
			pre[sum[i]%j][j-1] = (pre[sum[i]%j][j-1]+dp[i][j-1])%mod;
		}
	}
	ll ans =  0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans  = (ans%mod + dp[n][i]%mod)%mod;
	cout<<ans<<endl;
	
}