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587. 安装栅栏 : 二维凸包模板题


题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​587. 安装栅栏​​ ,难度为 困难

Tag : 「计算几何」

在一个二维的花园中,有一些用 坐标表示的树。由于安装费用十分昂贵,你的任务是先用最短的绳子围起所有的树。只有当所有的树都被绳子包围时,花园才能围好栅栏。你需要找到正好位于栅栏边界上的树的坐标。

示例 1: 587. 安装栅栏 : 二维凸包模板题_后端

输入: [[1,1],[2,2],[2,0],[2,4],[3,3],[4,2]]

输出: [[1,1],[2,0],[4,2],[3,3],[2,4]]

示例 2: 587. 安装栅栏 : 二维凸包模板题_数组_02

输入: [[1,2],[2,2],[4,2]]

输出: [[1,2],[2,2],[4,2]]

解释:即使树都在一条直线上,你也需要先用绳子包围它们。

注意:

  • 所有的树应当被围在一起。你不能剪断绳子来包围树或者把树分成一组以上。
  • 输入的整数在到之间。
  • 花园至少有一棵树。
  • 所有树的坐标都是不同的。
  • 输入的点没有顺序。输出顺序也没有要求。

二维凸包(Andrew 算法)

这是一道「二维凸包」板子题,需要注意的是网上大多数 ​​Andrew​​ 算法的板子都是有问题的(下面会说)。

​Andrew​​ 算法正是用于求解凸包上的所有点(围成所有点的最小周长),其算法逻辑将凸包分为「上凸壳」和「下凸壳」,并分别画出(蓝色分割线将凸包分为两部分):

587. 安装栅栏 : 二维凸包模板题_后端_03

基本流程为:

  1. 对所有点进行双关键字排序,先根据 坐标排升序,后根据 排升序; 根据 排升序的目的,是为了我们能够往一个方向画出凸包边缘(从左往后画出一半凸壳,从右往左画出另外一半),而将 升序目的是可以确保一旦我们现在从 到 进行连线,那么 到 之间的所有点能够确保被围住;
  2. 使用栈来维护所有凸包上的点,或者说凸包上的边,会更为准确,凸包起点元素会在栈中出现两次(首尾),因此更为准确的描述应该是使用栈维护凸包的所有的边,栈中相邻元素代表凸包上的一条边;
  3. 分别「从前往后」和「从后往前」处理排序好的所有点,来分别画出凸包的上下两部分,根据画的是第一部分还是第二部分,维护栈内元的处理逻辑稍有不同:
    a. 画的是凸包的第一部分:
  • 若栈内元素少于 个,组成一条线至少需要两个点,说明此时第一条边都还没画出,直接将元素添加到栈中;
  • 若栈内元素不少于 个,考虑是否要将栈顶的边删掉(由栈顶前两个元素组成的边)假设栈顶元素为 ,栈顶元素的下一位为 ,即栈顶存在一条 到 的边,当前处理到的点为 ,此时我们根据 边是否在 边的时针方向来决定是否要将 边去掉:
    587. 安装栅栏 : 二维凸包模板题_Java_04
    按照上述逻辑处理完所有点,凸包第一部分的点(边)都存在于栈中。

b. 画的是凸包的第二部分:逻辑同理,唯一需要注意的是,第一部分的凸包边我们不能删去,假定处理完第一部分凸包,我们栈内有 个元素,我们需要将上述「栈顶元素不少于 个」的逻辑替换为「栈顶元素大于 个」,同时已参与到凸包第一部分的点,不能再考虑,因此需要额外使用一个 数组来记录使用过的点。

一些细节,为了方便取得栈顶的前两位元素,我们使用数组实现栈, 代表栈容器, 代表栈顶元素下标。

正如刚刚讲到,起点会被入栈两次(对应第一条边和最后一条边),因此输出方案时,栈顶和栈底我们只选其一即可。

代码:

class Solution {
int[] subtraction(int[] a, int[] b) { // 向量相减
return new int[]{a[0] - b[0], a[1] - b[1]};
}
double cross(int[] a, int[] b) { // 叉乘
return a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
}
double getArea(int[] a, int[] b, int[] c) { // 向量 ab 转为 向量 ac 过程中扫过的面积
return cross(subtraction(b, a), subtraction(c, a));
}
public int[][] outerTrees(int[][] trees) {
Arrays.sort(trees, (a, b)->{
return a[0] != b[0] ? a[0] - b[0] : a[1] - b[1];
});
int n = trees.length, tp = 0;
int[] stk = new int[n + 10];
boolean[] vis = new boolean[n + 10];
stk[++tp] = 0; // 不标记起点
for (int i = 1; i < n; i++) {
int[] c = trees[i];
while (tp >= 2) {
int[] a = trees[stk[tp - 1]], b = trees[stk[tp]];
if (getArea(a, b, c) < 0) vis[stk[tp--]] = false;
else break;
}
stk[++tp] = i;
vis[i] = true;
}
int size = tp;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (vis[i]) continue;
int[] c = trees[i];
while (tp > size) {
int[] a = trees[stk[tp - 1]], b = trees[stk[tp]];
if (getArea(a, b, c) < 0) tp--;
// vis[stk[tp--]] = false; // 非必须
else break;
}
stk[++tp] = i;
// vis[i] = true; // 非必须
}
int[][] ans = new int[tp - 1][2];
for (int i = 1; i < tp; i++) ans[i - 1] = trees[stk[i]];
return ans;
}
}
  • 时间复杂度:排序复杂度为,统计凸包上的点复杂度为。整体复杂度为
  • 空间复杂度:

网上 ​​Andrew​​ 板子问题

由于我太久没写计算几何了,翻了一下以前在其他 OJ 提交的题,找回自己几年前的板子,好奇心驱使,想看看现在是否有板子上的突破(通常很难,尤其对于计算几何而言),结果发现网上绝大多数板子都存在严重逻辑错误:

  1. 最为严重的错误是,处理凸包第一部分和第二部分,都是使用「栈顶元素不少于个」的逻辑:即使存在数组也无法避免该逻辑错误,在某些数据上,该逻辑会导致最右边的一些点无法被围住
  2. 存在对​​vis​​​ 数组的错误理解:​​vis​​ 的作用仅是为了处理凸包第二部分的时候,不要使用到凸包第一部分的点而已。含义并非是处理过的点,或者当前凸包上的点,因此你可以看到我代码注释中写了「不标记起点」和「非必须」,在画第二部分的凸包时,只需要确保第一部分使用的点不参与即可,重点问题本身就由遍历所保证,而并非 数组。当然,为了记忆方便,让模板更具有“对称性”,也可以保留在画第二部分凸包的时候,保留对的维护逻辑,但千万不要搞错了的含义。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.587​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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