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齐次线性方程组的解向量和基础解系

小沙坨 2022-10-08 阅读 73


设有齐次线性方程组


式可写成向量方程

定义 1(解向量) 若

称为方程组 解向量,也就是向量方程

根据向量方程 ,解向量具有如下性质和证明:

性质 1 若 为向量方程 的解,则 也是向量方程

证明 因为 ,所以 满足方程 ,即为向量方程

性质 2 若 为向量方程 的解, 为实数,则 也是向量方程

证明 因为 ,所以 满足方程 ,即为向量方程

定义 2(基础解系) 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系

把向量方程 的全体解所组成的集合记作 ,如果能求得解集 的一个最大无关组 ,那么方程 的任一解都可由最大无关组 线性表示;另一方面,根据性质 1 和性质 2 可知,最大无关组 的任何线性组合

都是方程 的解,因此上式便是方程


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