【第14天】给定两个整数a和b，求它们的最大公约数 | 辗转相除法

学习指引

• ​​序、专栏前言​​
• ​​序、本章前言​​
• ​​一、什么是gcd?​​
• ​​二、gcd模板代码​​
• ​​三、【例题1】​​

• ​​2、解题思路​​
• ​​3、模板代码​​
• ​​4、代码解析​​

• ​​四、【例题1】​​

• ​​2、解题思路​​
• ​​3、模板代码​​
• ​​4、代码解析​​

• ​​五、推荐专栏​​
• ​​六、课后习题​​

序、专栏前言

   本专栏开启，目的在于帮助大家更好的掌握学习​​Java​​​，特别是一些​​Java学习者​​难以在网上找到系统地算法学习资料帮助自身入门算法，同时对于专栏内的内容有任何疑问都可在文章末尾添加我的微信给你进行一对一的讲解。
   但最最主要的还是需要独立思考，对于本专栏的所有内容，能够进行完全掌握，自己完完全全将代码写过一遍，对于算法入门肯定是没有问题的。
   算法的学习肯定不能缺少总结，这里我推荐大家可以到​​​高校算法社区​​​将学过的知识进行打卡，以此来进行巩固以及复习。
  学好算法的唯一途径那一定是题海战略，大量练习的堆积才能练就一身本领。专栏的任何题目我将会从【题目描述】【解题思路】【模板代码】【代码解析】等四板块进行讲解。

序、本章前言

  求最大公约数的需求随处可见，比如专栏第​​6​​​天我就使用了​​gcd​​函数。今天我们主要的内容是细讲模板以及原理，大家一定要烂熟于心，能自己默写出模板。

一、什么是gcd?

  ​​gcd​​​函数指的是求两整数​​a​​​,​​b​​的最大公约数。如果采用最朴素的思想，寻找最大公约数应该像这样：

static int gcd(int a,int b){
        int start=Math.min(a,b);
        for (int i = start; i >=2 ; i--) {
            if (a%i==0&&b%i==0) return i;
        }
        return 1;
    }

  很明显，这样的时间复杂度是，如果 和 都非常大的话，效率极其的低。而数学届普遍用来优化求最大公约数的有两种方法，一种名为​​​更相减损术​​​，还有一种叫​​辗转相除法​​​。这里我们讲解性能更优秀的​​辗转相除法​​​。
  ​​​辗转相除法​​也叫欧几里得算法(没错又是这位大佬)，是他搞出来的。它基于的原理是：

  的最大公约数等于的最大公约数相等。

  它的操作步骤也非常简单，我们假设两数较大的为：

• 先用较大数对较小数取余，我们得到​​​a%b=c​​​。根据上述原理我们可以进行转化，求​​a和b​​​的最大公约数转化为求​​b和c​​的最大公约数。
• 求​​​b和c​​​的最大公约数，同样回到第一步，​​b%c=d​​​，从上一步出关系可知，除数一定是比余数大的，所以​​b​​​一定是大于​​c​​​的。所以求​​b和c​​​的最大公约数又转换为求​​c和d​​的最大公约数。
• 第​​​1​​​步和第​​2​​步来回跳转，数字持续变小。
• 如果当某个时刻，此时我们的数是​​​f和g​​​，而且​​f%g=0​​​了，余数为0，那么此时的​​g​​​就是我们的最大公约数。及我们可以得到​​a和b​​​的最大公约数是​​g​​。

  之所以步骤这么详细，是想让大家注意到，​​1、2​​步之间的联系非常紧密，它将一个复杂的问题转化为一个子问题去解决，这恰好就符合到了我们之前学习使用递归的条件，而递归写法也恰好是最简单的。

二、gcd模板代码

static int gcd(int a,int b){
        if (b==0){
            return a;
        }
        return gcd(b,a%b);
    }

  其中​​b​​​等于0时，说明上一步存在某个数​​x​​​，使得​​x%a==b​​​。根据之前的结论，此时​​a​​​就是我们的答案。所以​​b​​为0就是我们递归出口。熟练以后我们可以结合条件判断符写的更加简洁

static int gcd(int a,int b){
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }

  其实​​更相减损术​​​基于的原理和​​辗转相除法​​​是一样的，只不过它使用减法，​​辗转相除法​​​使用的是除法，时间复杂度稳定在。而在答案需要迭代多次时(比如最大公约数为1的情况)，​​​更相减损术​​​复杂度可能会退化到，所以推荐大家熟记上述的​​​辗转相除法​​​的​​gcd​​​模板。

三、【例题1】

  给定多组测试数据，每次给定两个整数，请你打印出它们的最大公约数。

2、解题思路

  题目难度：⭐️

  写出​​gcd​​函数模板，每次直接打印结果即可。

3、模板代码

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        while (sc.hasNext()){
            int a=sc.nextInt();
            int b=sc.nextInt();
            System.out.println(gcd(a,b));
        }
    }
    static int gcd(int a,int b){
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
}

4、代码解析

• 解析就是熟悉模板​​​gcd​​~。

四、【例题1】

  给定一个整数​​t​​​，然后输入​​t​​​个整数，求这​​t​​​个整数的最大公约数。

2、解题思路

  题目难度：⭐️

  求多个数的最大公约数，我们只需要迭代进行​​gcd​​​即可，每次的结果和下一个数进行​​gcd​​。

3、模板代码

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int t=sc.nextInt();
        int[] a=new int[t];
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            a[i]=sc.nextInt();
        }
        int s=gcd(a[0],a[1]);
        for (int i = 2; i <t; i++) {
            s=gcd(s,a[i]);
        }
        System.out.println(s);
    }
    static int gcd(int a,int b){
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
}

4、代码解析

• 先拿第一个数和第二个数得到答案​​​s​​​，然后再用​​s​​​去和剩余的数不断进行​​gcd​​​进行迭代，最后​​s​​​则为答案。