零钱兑换1
题目
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2: 输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3: 输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
解题思路
根据题意钱币数量不限，我们就可以知道本题是一个完全背包。但是和完全背包又有点不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数。
注意本题要求的是凑成硬币的组合数，这里面有什么说法吗? 举例来说：
5 = 2 + 2 + 1；
5 = 1 + 2 + 2；
这个是一种组合，元素都是 2 2 1，如果是按照元素的排列数，那么这就是俩种排列了。组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。
接下来，我们来通过动态规划的方式来求解此题：
第一步，确定dp数组以及下标的含义：dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。
第二步，确定递推公式：求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
第三步，dp数组初始化：从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]，所以 dp[0] = 1。
第四步，确定遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包。以往我们求解完全背包的时候俩个 for 循环的的顺序是无关紧要的，为啥这次需要先遍历物品，再遍历背包呢？
我们先来看外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况，代码如下：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。此时dp[j]里算出来的就是排列数！
代码实现
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
// dp[j] 表示凑成背包容量为 j 的组合数
int[] dp = new int[amount + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < coins.length; i++){
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return
零钱兑换2
题目
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
解题思路
根据题意，这是一道典型的背包问题，根据钱币的数量不限就可以知道这是一个完全背包。
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！这是一种组合。于是分析如下：
第一步，确定dp数组以及下标的含义：
dp[j]: 凑成总金额 j 的货币组合数为 dp[j]。
第二步，确定递推公式：
一般公式都是：dp[j] += dp[j - coins[i]];
第三步：初始化dp数组：
dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。
第四步，确定遍历顺序：
外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码实现
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
// dp[j] 表示凑成背包容量为 j 的组合数
int[] dp = new int[amount + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < coins.length; i++){
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return
复杂度分析
- 时间复杂度：O(amount×n)，其中 amount 是总金额，n 是数组 coins 的长度。
- 空间复杂度：O(amount)，其中 amount 是总金额。需要创建长度为 amount+1 的数组 dp
零钱兑换3
题目
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例2：
输入：coins = [2], amount = 3
示例3：
输入：coins = [1], amount = 0
提示：
- 1 <= coins.length <= 12
- 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
- 0 <= amount <= 10^4
解题思路
根据题意，本题可采用动态规划的方式来求解。
第一步，确定dp数组以及下标的含义：
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]。
第二步，确定递推公式： 分俩种情况： 第一种，dp[j]，考虑coins[i]，那只有从 dp[j - coins[i]] 来推导； 第二种，凑足总额为 j - coins[i] 的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币 coins[i]，表达式为 dp[j - coins[i]] + 1。
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式为：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
第三步，dp 数组初始化：
dp[0] = 0。
第四步，确定遍历顺序：
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
代码实现
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int {
int max = amount + 1;
int[] dp = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, max);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
if (coins[j] <= i) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] > amount ? -1
复杂度分析
- 时间复杂度：O(Sn)，其中 S 是金额，n 是面额数。
- 空间复杂度：O(S)。
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