Ignatius's puzzle
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Total Submission(s): 8427 Accepted Submission(s): 5843
Problem Description
Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no choice but to appeal to Eddy. this problem describes that:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,input a nonegative integer k(k<10000),to find the minimal nonegative integer a,make the arbitrary integer x ,65|f(x)if
no exists that a,then print "no".
Input
The input contains several test cases. Each test case consists of a nonegative integer k, More details in the Sample Input.
Output
The output contains a string "no",if you can't find a,or you should output a line contains the a.More details in the Sample Output.
Sample Input
11 100 9999
Sample Output
22 no 43
题解：
题目大意：方程f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x；输入任意一个数k，是否存在一个数a，对任意x都能使得f(x)能被65整出。 现假设存在这个数a ,因为对于任意x方程都成立 所以，当x=1时f(x)=18+ka 又因为f(x)能被65整出，故设n为整数 可得，f(x)=n*65; 即：18+ka=n*65; 因为n为整数，若要方程成立 则问题转化为， 对于给定范围的a只需要验证， 是否存在一个a使得(18+k*a)%65==0 所以容易解得 注意，这里a只需到65即可 因为，当a==66时 也就相当于已经找了一个周期了，所以再找下去也找不到适当的a了 如果你非要证明的话，可以利用了取模过程与数的运算的次序上可交换原理简单证明一下 本身看看就知道，这里就不证了。。
AC代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MA 10010
int main()
{
int n,i,k;
while(~scanf("%d",&k))
{
for(i=1;i<=65;i++)
{
if((18+i*k)%65==0)
{
printf("%d\n",i);
break;
}
}
if(i>=66)
printf("no\n");
}
return 0;
}
第二AC： 费马小定理
#include <cstdio>
int main()
{
int k,flag;
while (scanf("%d",&k)!=EOF)
{
flag=0;
for (int i=1;i<=65;i++)
{
if (i*k%13==8&&i*k%5==2)
{
flag=i;
break;
}
}
if (flag)
{
printf("%d\n",flag);
}
else
{
printf("no\n");
}
}
}
这一题是一个好题，涉及到费马小定理！
什么是费马小定理呢？
费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年皮埃尔·德·费马发现的。
所以我们要做的就是把这一题与费马小定理联系起来！
f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x转化成f(x)=(5*x^12+13*x^4+k*a)*x
1.当x=65的倍数时就行了；
2.当x=5的倍数时则需要（5*x^12+k*a）是13的倍数，由费马小定理可知，因为x是5的倍数所以（x^(13-1)%13==1）,所以（5*x^12%13==5），所以只需要做到k*a%13==8即可！
3.同理可得当x=13的倍数时，只需要做到（13*x^4+k*a)是5的倍数由费马小定理可知，因为x是5的倍数所以（x^(5-1)%5==1）,所以（13*x^(5-1)%5==3），所以只需要做到k*a%5==2即可
4.当x不是上面的特殊数时，则需要f(x)=(5*x^12+13*x^4+k*a)*x被65整除，也就是需要同时满足上面那两个条件！
