二分

关于二分

二分就是断确定边界的过程，二分一定有解所以当二分到无法再分时的那个元素就是解，即l=r指向的值。

二分不一定要有单调性，二分的本质是寻找某种性质的分界点。只要可以找到某种性质，使得区间的前半部分满足，后半部分不满足，那么就可以用二分把这个分界点找到。

二分模板

bool check(int x){...};//检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用(取mid左边)
int bsearch(int l,int r){
    if(l==r) return a[l];
    while(l<r){
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用(取mid右边)
int bsearch(int l,int r){
    if(l==r) return a[l];
    while(l<r){
        int mid=l+r+1>>1;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid-1;
    }
}

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

例题

1.数的范围

题目描述
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N];
int main()
{
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    int x;
    while(q--){
        cin>>x;
        int l=0,r=n-1;
        while(l<r){//找到第一个小于等于x的数
            int mid=(l+r)>>1;
            if(a[mid]>=x) r=mid;//如果这个数大于等于x，我们就将区间缩小到左半边继续找
            else l=mid+1;
        }
        if(a[l]!=x){//如果没有找到x，说明这个数不存在，直接打印“-1 -1”即可
            cout<<"-1 -1"<<endl;
            
        }else{
            cout<<l<<" ";
            l=0,r=n-1;
            while(l<r){//找到第一个大于等于x的数
                int mid=(l+r+1)>>1;
                if(a[mid]<=x) l=mid;//如果这个数小于等于x，我们就将区间缩小到右半边继续找
                else r=mid-1;
            }
            cout<<l<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

2.数的三次方根

题目描述
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    double n;
    cin>>n;
    double l=-10000,r=10000;//n的范围从l到r
    while(r-l>1e-8){//找到三个数相乘的结果是n
        double mid=(l+r)/2;
        if(mid*mid*mid>=n) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.6lf\n",l);
}

3.机器人跳跃问题

题目描述
机器人正在玩一个古老的基于 DOS 的游戏。

游戏中有 N+1 座建筑——从 0 到 N 编号，从左到右排列。

编号为 0 的建筑高度为 0 个单位，编号为 i 的建筑高度为 H(i) 个单位。

起初，机器人在编号为 0 的建筑处。

每一步，它跳到下一个（右边）建筑。

假设机器人在第 k 个建筑，且它现在的能量值是 E，下一步它将跳到第 k+1 个建筑。

如果 H(k+1)>E，那么机器人就失去 H(k+1)−E 的能量值，否则它将得到 E−H(k+1) 的能量值。

游戏目标是到达第 N 个建筑，在这个过程中能量值不能为负数个单位。

现在的问题是机器人至少以多少能量值开始游戏，才可以保证成功完成游戏？

输入格式
第一行输入整数 N。

第二行是 N 个空格分隔的整数，H(1),H(2),…,H(N) 代表建筑物的高度。

输出格式
输出一个整数，表示所需的最少单位的初始能量值上取整后的结果。

数据范围
1≤N,H(i)≤105,

输入样例1：

输出样例1：

输入样例2：

输出样例2：

输入样例3：

输出样例3：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],n;
bool check(int e){//判断给定的e是否满足条件 满足条件就返回true 否则返回false
    for(int i=1;i<=n;i++){
        e=2*e-a[i];
        if(e>1e5) return true;//如果e>1e5,又1≤H(i)≤105 ,那么2*e-a[i]一定还是大于1e5的，所以不会存在e小于0的情况
        if(e<0) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int l=0,r=1e5;//将二分的区间设置为范围，这样就能对所有情况枚举
    while(l<r){
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid)) r=mid;//找最小的，当满足check时，则mid+1~r的数都是满足条件的，将范围缩小到l~mid，看看能不能找到更小的值
        else l=mid+1;
    }
    cout<<r<<endl;
    return 0;
}

蓝桥杯真题

四平方和

题目描述
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：

每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。

如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。

比如：

5=02+02+12+22
7=12+12+12+22
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 4 个数排序：

0≤a≤b≤c≤d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。

输入格式
输入一个正整数 N。

输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。

数据范围
0<N<5∗106

输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++
哈希

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int N=2500010;
typedef pair<int,int > PII;
unordered_map<int,PII> mp;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int c=0;c*c<=n;c++)
        for(int d=c;d*d+c*c<=n;d++){
            int t=d*d+c*c;
            if(mp.count(t)==0) mp[t]={c,d};//只有当哈希表不存在这个值的时候我们才存c和d，这样就保证了结果是最小的
        }
    for(int a=0;a*a<=n;a++)
        for(int b=a;b*b+a*a<=n;b++){
            int t=n-a*a-b*b;
            if(mp.count(t)){
                printf("%d %d %d %d\n",a,b,mp[t].first,mp[t].second);
                return 0;
            }
        }
    return 0;
}

二分

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=2500010;
int m;
struct sum{
    int s,c,d;
    bool operator < (const sum & t)&{
        if(s!=t.s) return s<t.s;
        if(c!=t.c) return c<t.c;
        return d<t.d;
    }
}sum[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int c=0;c*c<=n;c++)
        for(int d=c;d*d+c*c<=n;d++){
            sum[m++]={d*d+c*c,c,d};
        }
    sort(sum,sum+m);//将所有结果排序，其中将c和d在s相同的情况下也按字典序排序了，这样在找到第一组的解一定是最小的
    for(int a=0;a*a<=n;a++)
        for(int b=a;b*b+a*a<=n;b++){
            int t=n-a*a-b*b;
            int l=0,r=m-1;
            while(l<r){
                int mid=(l+r)>>1;
                if(sum[mid].s>=t) r=mid;
                else l=mid+1;
            }
            if(sum[l].s==t){
                printf("%d %d %d %d\n",a,b,sum[l].c,sum[l].d);
                return 0;
            }
        }
    return 0;
}

分巧克力

题目描述
儿童节那天有 K 位小朋友到小明家做客。

小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。

小明一共有 N 块巧克力，其中第 i 块是 Hi×Wi 的方格组成的长方形。

为了公平起见，小明需要从这 N 块巧克力中切出 K 块巧克力分给小朋友们。

切出的巧克力需要满足：

形状是正方形，边长是整数
大小相同
例如一块 6×5 的巧克力可以切出 6 块 2×2 的巧克力或者 2 块 3×3 的巧克力。

当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小明计算出最大的边长是多少么？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含两个整数 Hi 和 Wi。

输入保证每位小朋友至少能获得一块 1×1 的巧克力。

输出格式
输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。

数据范围
1≤N,K≤10^5,
1≤Hi,Wi≤10^5

输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int w[N],h[N];
int n,k;
bool check(int mid){
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        res+=((h[i]/mid)*(w[i]/mid));//求所有巧克力切成边长为mid的正方形 可以切多少快
        if(res>=k) return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>h[i]>>w[i];
    }
    int l=1,r=1e5;//从所有可能的边长中找一个满足可以且k快且最大的
    while(l<r){
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(check(mid)) l=mid;//当mid满足可以切k快之后，l~mid一定都满足，从mid~r继续找更大的边长
        else r=mid-1;
    }
    cout<<l<<endl;
    return 0;
}

前缀和

关于前缀和

预处理求出s[1~n]，然后就能快速求出任意数组任意区间里一段数的和，如求l~r区间的和，就是s[r]-s[l-1]，数组要从1开始从，s[0]=0，这样比如算s[1]-s[9]，就可以用s[9]-s[0],而s[0]其实就是0，没有元素，避免越界

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

把每一个点看成一个小方块！！！！

**预处理求出任意一点到（0，0）点的面积即任意一个矩阵的面积，即求前缀和，然后再求出子矩阵的和。**前缀和可以看成是第i，j个小矩阵加上剩余的面积，即

a[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]（这里减一可以看做是去掉边即不将边减去，(x1,y1)~(x2,y2)是要加上(x1,y1)这一行和这一列的）

例题

1.前缀和

题目描述
输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
const int N=100010;
int a[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];//预处理求前缀和，+完之后数组a就是前缀和数组了
    while(m--){//任意一段区间l到r的和就是a[r]-a[l-1]
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<a[r]-a[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

2.子矩阵的和

题目描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N];
int n,m,q;
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){//预处理求出前缀和
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>a[i][j];
            a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
        }
    }
    while(q--){//根据前缀和求出任意区间的和
        int x1,x2,y1,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

3.激光炸弹

题目描述
地图上有 N 个目标，用整数 Xi,Yi 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 Wi。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 x，y 轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 N 和 R，分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来 N 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi，分别代表目标的 x 坐标，y 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
0≤R≤109
0<N≤10000,
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000
输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=5010;
int s[N][N];
int t,r;
int main()
{
    cin>>t>>r;
    r=min(r,5001);//防止r很大，导致最后枚举不到，当r大于等于5001时，可全部覆盖
    int n=r,m=r;//因此区域的边界初始最大值也取r，当r大于等于5001，或者比x，y大，也可枚举到
    while(t--){
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        n=max(x+1,n),m=max(y+1,m);//通过max来取得横坐标和纵坐标的最大值
        s[x+1][y+1]+=w;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=r;i<=n;i++){//(i,j)是子矩阵的右下角，因此从r开始枚举，左上角是(i-r,j-r)
        for(int j=r;j<=m;j++){
            res=max(res,s[i][j]-s[i-r][j]-s[i][j-r]+s[i-r][j-r]);
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

蓝桥杯真题

K倍区间

题目描述
给定一个长度为 N 的数列，A1,A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…Aj 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai。

输出格式
输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围
1≤N,K≤100000,
1≤Ai≤100000
输入样例：

输出样例：

解题思路

代码实现+详细注释C++

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
long long a[N],cnt[N];//cnt[i]表示余数为i的前缀和的个数
int n,k;
int main()//将求a[r]-a[l-1]模k等于0  转化为求r确定时，在0~r-1之间有多少个l使得 a[l]%k==a[r]%k
{
    cin>>n>>k;
    long long res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){//预处理求前缀和
        cin>>a[i];
        a[i]+=a[i-1];
    } 
    cnt[0]=1;//模的结果为0的已经有一个，就是l==0时
    for(int r=1;r<=n;r++){//枚举左端点l
        res+=cnt[a[r]%k];
        cnt[a[r]%k]++;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}