入门概念
- 带权图：如下图所示，我们把边带有权值的图称为带权图
- 可以将边的权值理解为两点之间的距离
- 一张图中任意两点间会有不同的路径相连
- 最短路径：最短路径就是指连接两点的这些路径中最短的一条
Floyed、Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA可以有效地解决最短路径问题。
需要注意的是：边的权值可以为负。当出现负边权时，有些算法不适用
最短路径问题是图论中典型的问题，多数模型可以归结为一下三种
- 管道铺设
- 线路安装
- 地图规划
问题引入
国庆期间，7535寝室计划去旅行。在出发前，寝室长查阅了地图，如下图，寝室长希望在出发前知道任意两个城市之间的最短路径。
那么，如何求解任意两点之间的最短路径呢？
Floyed算法
分析：如果要让任意两点之间(假设是a到b)的路程变短，只能引入第三个点(假设为k)，通过点k进行中转即a -> k -> b，才可能缩短原来从顶点a到顶点b的路程。
有时候可能还不只一个中转点，而是经过两个点或者更多的点进行中转会更短，即a -> k1 -> k2 -> b或者a -> k1 -> k2 -> … …-> b。
例如：上图中的4号城市到3号城市的路程原本是e[4][3] = 12，但是如果通过1号城市中转4 -> 1 -> 3，那么路程将缩短为11(e[4][1] + e[1][3] = 5 + 6 = 11)。如果同时通过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10(e[4][1] + e[1][2] + e[2][3] = 5 + 2 + 3 = 10)。通过以上分析，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。
模拟该过程：
首先，如何存储这个地图？
可以用一个二维数组e来存储。比如1号城市到2号城市的路程为2，则设e[1][2] = 2。2号城市无法直接到达4号城市， 则设e[2][4] = ∞。另外，约定自己到自己的路程为0。最终，得到表示两个城市之间距离的二维数组：
假设现在只允许经过1号顶点中转，求任意两点之间(i到j)的最短路径。
只需要判定经过1号顶点中转的距离e[i][1] + e[1][j]是否比 i 到 j 的初始距离e[i][j]小。代码如下：
//经过1号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
{
for(j = 1;j <= n;j++)
{
//if (i到j的初始距离e[i][j] > 经过1号顶点中转的距离) 更新
if(e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])
e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];
}
}
在只经过1号中转的情况下，任意两点之间的最短路径更新为下图：
既然可以允许经过1号结点中转，那么是否可以允许经过2号结点中转？
显然是可以的。
接下来，加入允许2号结点作为中转结点的情况下任意两点之间的最短路径。
怎么求？我们需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路径的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得 i 号顶点到 j 号顶点之间的路程变得更短，即判断经过2号结点之后的路程e[i][2] + e[2][j]是否比不经过2号结点的路程e[i][j]要小，代码如下：
//经过2号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
{
for(j = 1;j <= n;j++)
{
if(e[i][j] > e[i][2] + e[2][j])
e[i][j] = e[i][2] + e[2][j];
}
}
在经过1号和2号的中转的情况下，任意两点之间的最短路径更新为下图：
根据这样的规则，依次经过1号，2号，3号，4号四个顶点的情况下，求任意两点之间的最短路径，代码如下：
//经过1号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
for(j = 1;j <= n;j++)
{
if(e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])
e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];//经过1号结点中转之后距离变小,更新
}
//经过2号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
for(j = 1;j <= n;j++)
{
if(e[i][j] > e[i][2] + e[2][j])
e[i][j] = e[i][2] + e[2][j];//经过2号结点中转之后距离变小,更新
}
//经过3号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
for(j = 1;j <= n;j++)
{
if(e[i][j] > e[i][3] + e[3][j])
e[i][j] = e[i][3] + e[3][j];//经过3号结点中转之后距离变小,更新
}
//经过4号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
for(j = 1;j <= n;j++)
{
if(e[i][j] > e[i][4] + e[4][j])
e[i][j] = e[i][4] + e[4][j];//经过4号结点中转之后距离变小,更新
}
以上过程较繁琐，我们可以将以上过程写成三个for循环，代码如下：
for(k = 1;k <= n;k++) //依次经过1~n中的n个点进行中转
for(i = 1;i <= n;i++)
for(j = 1;j <= n;j++)
{
if(e[i][j] > e[i][k] + e[k][j])
e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
}
需要强调的是：用来循环中间点的变量k必须放在最外面一层循环
最终，得到任意两个结点之间的最短路径，如图所示：
Floyed算法总结：
Floyed算法可以算出任意两点的最短路径，可以处理带有负权边的图，但不能处理带有“负环”的图
什么是负环？如图所示：
e[1][1]本应等于0，如果采用Floyed算法更新最短路，e[1][1] = 2 + 3 - 6 = -1
Floyed算法的时间复杂度：O(n^3)