《剑指offer刷题笔记》 2、不修改数组找出重复的数字 【c++详细题解】

题目

给定一个长度为 的数组​​​nums​​​，数组中所有的数均在 的范围内，其中 。

请找出数组中任意一个重复的数，但不能修改输入的数组。

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。

返回 2 或 3。

思考题：如果只能使用 的额外空间，该怎么做呢？

思路

(分治，抽屉原理)

这道题目主要应用了抽屉原理和分治的思想。

抽屉原理：n+1 个苹果放在 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放两个苹果。

用在这个题目中就是，一共有 n+1 个数，每个数的取值范围是1到n，所以至少会有一个数出现两次。

然后我们采用分治的思想，将每个数的取值的区间[1, n]划分成[1, n/2]和[n/2+1, n]两个子区间，然后分别统计两个区间中数的个数。
注意这里的区间是指 数的取值范围，而不是 数组下标。

划分之后，左右两个区间里一定至少存在一个区间，区间中数的个数大于区间长度。
这个可以用反证法来说明：如果两个区间中数的个数都小于等于区间长度，那么整个区间中数的个数就小于等于n，和有n+1个数矛盾。

因此我们可以把问题划归到左右两个子区间中的一个，而且由于区间中数的个数大于区间长度，根据抽屉原理，在这个子区间中一定存在某个数出现了两次。

依次类推，每次我们可以把区间长度缩小一半，直到区间长度为1时，我们就找到了答案。

图示

如果左区间的数的个数大于区间长度,说明左区间有重复元素，我们让​​r = mid​​,缩小区间范围。

复杂度分析

1. 时间复杂度：每次会将区间长度缩小一半，一共会缩小次。每次统计两个子区间中的数时需要遍历整个数组，时间复杂度是。所以总时间复杂度是。
2. 空间复杂度：代码中没有用到额外的数组，所以额外的空间复杂度是。

代码1

class Solution {
public:
    int duplicateInArray(vector<int>& nums) {
        int l = 1, r = nums.size() - 1;  
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1; // 划分的区间：[l, mid], [mid + 1, r]
            int s = 0;
            for (auto x : nums) s += x >= l && x <= mid;
            if (s > mid - l + 1) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
};

代码2

class Solution {
public:
    int duplicateInArray(vector<int>& nums) {
        int l = 1,r = nums.size()-1;  //二分数的取值范围
        while( l < r)
        {
            int mid = (l + r)/2;
            int s = 0;
            for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
            {
                if(nums[i] >= l&&nums[i] <= mid) s++; //统计左区间的元素个数
            }
            if(s > mid - l + 1) r = mid;  //说明左区间有重复元素，我们让r = mid,缩小区间范围
            else l = mid + 1; //否则右区间有重复元素
        }
        return r;
    }
};