0
点赞
收藏
分享

微信扫一扫

AcWing 1294. 樱花

​​题目传送门​​

一、解题思路

做了这题,感觉这类题目的大多数分析过程都是这样的:

  • 求有多少对整数对\((x,y)\)满足一条方程,则方程一定存在解,将\(y\)转换为关于\(x\)的表示式,再根据\(y\)的约数条件,求出\((x,y)\)的匹配数,即一个\(x\)对应一个\(y\)

1、确定\(x,y\)范围

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!} \]

∵\(x,y∈Z^+\)

∴\(x>n!\) \(y>n!\) 小学数学知识~

2、推表达式

转换为​​y​​的表示式

\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!} \]

变形

\[xn!+yn!=xy \]

继续变形

\[xn!=y(x-n!) \]

\[y=\frac{xn!}{x-n!} \]

经典的变形技巧:

\[y=\frac{(x-n!+n!)n!}{x-n!} \]

\[y=\frac{(x-n!)n!+n!^2}{x-n!} \]

\[y=n! + \frac{n!^2}{x-n!} \]

因为上面已经证明了\(x-n!>0\)的,所以要想\(y\)有正整数解,则必然需要

\[(x-n!)|n!^2 \]

换句话说,就是\(n!^2\)有多少个约数,就有相应的正整数\(x\),也就有一个对应的\(y\)。

如果我们能够求得\(n!^2\)的约数个数,也就是\({x,y}\)的匹配对数。

3、阶乘分解质因数

参考 ​​\(Acwing197\). 阶乘分解​​ 的方法

  • 先筛出\(n\)以内的质数
  • 计算每个质数因子出现的次数
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
int p = primes[i];
int s = 0;
for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;
printf("%d %d\n", p, s);
}

4、约数个数

求\(n!^2\)一共有多少个约数

假设$$n!=P_1^{c_1} \times P_2^{c_2}\times ...\times P_k^{c_k}$$

则$$n!2=P_1{2c_1}\times P_2^{2c_2}\times ...\times P_k^{2c_k}$$

根据约数个数定理

知道约数的个数是\((2c_1+1)\times (2c_2+1)\times …\times (2c_k+1)\)

5、时间复杂度 \(O(n)\)

二、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;

//欧拉筛
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n) {
memset(st, 0, sizeof st);
cnt = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main() {
int n;
cin >> n;
//步骤1:筛质数
get_primes(n);
//步骤2:阶乘质因子分解
int res = 1;
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
int p = primes[i];
int s = 0;
for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;
//步骤3:约数个数公式
res = (LL)res * (2 * s + 1) % mod;
}
cout << res << endl;
return 0;
}

三、知识点总结

  • 数学公式推导

    转化为一个自变量,一个因变量的形式,最终描述:有一个\(x\),就能确定一个\(y\),需要满足​​xxx​​条件(一般是谁能整除谁之类,转化为求约数个数)

  • 唯一分解定理
  • 阶乘的质因子分解

    经典作法,除了背下来,多看几遍,还有啥更好的办法~

  • 约数和公式




举报

相关推荐

0 条评论