作差法-CFANZ编程社区

作差法_构造函数

作差法，是比较大小时需要用到的基本方法之一。

前言

方法相关

作差法的理论依据

\[\left\{\begin{array}{l}{a-b>0 \Leftrightarrow a>b}\\{a-b=0 \Leftrightarrow a=b}\\{a-b<0 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R)\]

注意：作差法对作差的两个实数没有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

作差法步骤：作差 $\Rightarrow$ 变形 $\Rightarrow$ 定号 $\Rightarrow$

其难点是数学变形，常用的数学变形有因式分解，配方法，通分，分母有理化或分子有理化^[1]等，有时候针对根式作差时，可能还会需要先平方再作差。

典例剖析

对两个代数式作差进行大小比较。

若$P=\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$，$Q=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a\ge 0)$，比较$P、Q$的大小。

分析：由于$a\ge 0$，$P > 0$，$Q > 0$，

则有$Q^2-P^2=2a+7+2\sqrt{a^2+7a+12}-(2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10})$

$=2(\sqrt{a^2+7a+12}- \sqrt{a^2+7a+10}) > 0$，所以$Q^2 > P^2$，则$Q > P$。

【2020高三数学课时作业】已知实数$a,b,c$满足$b+c=6-4a+3a^2$，$c-b=4$$-4a+$$a^2$，则$a,b,c$的大小关系为【$\qquad$】

$A.c\geqslant b >a$ $B.a >c\geqslant b$ $C.c > b >a$ $D.a > c >b$

分析：由于$c-b=4-4a+a^2=(a-2)^2\geqslant 0$，故$c\geqslant b$；

又由于$c+b=6-4a+3a^2$，$c-b=4-4a+a^2$，故由方程思想得到，$b=a^2+1$，

则$b-a=a^2-a+1>0$恒成立，即$b>a$，故$c\geqslant b >a$，选$A$.

【涉及2017全国卷1理科第11题】设$x$，$y$，$z$为正数，且$2^x=3^y=5^z$，则【$\qquad$】

$A.3y

分析：令$2^x=3^y=5^z=k$，

则$x=log_2k=\cfrac{lgk}{lg2}$，$y=log_3k=\cfrac{lgk}{lg3}$，$z=log_5k=\cfrac{lgk}{lg5}$，

故$2x=\cfrac{2lgk}{lg2}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{2}lg2}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，

$3y=\cfrac{3lgk}{lg3}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{3}lg3}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}$，

$5z=\cfrac{5lgk}{lg5}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{5}lg5}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[5]{5}}$，接下来，

法1：【单调性法】转化为只需要比较$\sqrt[2]{2}$，$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[5]{5}$三者的大小即可。

先比较$\sqrt[2]{2}$，$\sqrt[3]{3}$，给两个式子同时6次方，

得到$(\sqrt[2]{2})^6=2^3=8$，$(\sqrt[3]{3})^6=3^2=9$，

故$\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}$，则$\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}>\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}$，

即得到$2x>3y$

再比较$\sqrt[2]{2}$，$\sqrt[5]{5}$，给两个式子同时10次方，

得到$(\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32$，$(\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25$，

故$\sqrt[2]{2}>\sqrt[5]{5}$，则$\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}<\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}$，

即得到$5z>2x$，综上得到$3y<2x<5z$

法2：【作差法】

$2x-3y=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{3lgt}{lg3}=\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0$，

故$2x>3y$;

$2x-5z=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{5lgt}{lg5}=\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0$

故$2x<5z$;

综上有$3y<2x<5z$。

法3：【作商法】

$\cfrac{2x}{3y}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{lg3}{lg2}=\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1$，故$2x>3y$；

$\cfrac{5z}{2x}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{lg2}{lg5}=\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1$，

故$5z>2x$；故$3y<2x<5z$。素材链接

法4：【特值法】取$z=1$，则由$2^x=3^y=5^z$得，$x=\log_25$，$y=\log_35$，

所以$2x=\log_25<\log_2{32}=5z$，

$3y=\log_3{125}<\log_3{243}=5z$，所以 $5z$最大；

取$y=1$，则由$2^x=3$，得到$x=\log_23$，所以$2x=\log_29>3y$，

综上所述，可得$3y<2x<5z$，故选$A$.

法5：设令$2^x=3^y=5^z=k$，则$x=log_2k$，$y=log_3k$，$z=log_5k$注意到这三个对数式的真数相同，故想到取倒数，这样得到三个结果的底数就是相同的，便于下一步利用单调性比较大小；，

所以 $\cfrac{1}{2x}=\log_k{2^{\frac{1}{2}}}$，$\cfrac{1}{3y}=\log_k{3^{\frac{1}{3}}}$，$\cfrac{1}{5z}=\log_k{5^{\frac{1}{5}}}$，

又易知，$k>1$，则$5^{\frac{1}{5}}$$<$$2^{\frac{1}{2}}$$<$$3^{\frac{1}{3}}$由于$5^{\frac{1}{5}}$$=$$\sqrt[5]{5}$$=$$\sqrt[10]{5^2}$，$2^{\frac{1}{2}}$$=$$\sqrt[2]{2}$$=$$\sqrt[10]{2^5}$，故$5^{\frac{1}{5}}$$<$$2^{\frac{1}{2}}$，同理，$2^{\frac{1}{2}}$$=$$\sqrt[2]{2}$$=$$\sqrt[6]{2^3}$，$3^{\frac{1}{3}}$$=$$\sqrt[3]{3}$$=$$\sqrt[6]{3^2}$，故$2^{\frac{1}{2}}$$<$$3^{\frac{1}{3}}$，因此，$5^{\frac{1}{5}}$$<$$2^{\frac{1}{2}}$$<3^{\frac{1}{3}}$，

所以，$\log_k5^{\frac{1}{5}}<\log_k2^{\frac{1}{2}}<\log_k3^{\frac{1}{3}}$

即$0<\cfrac{1}{5z}<\cfrac{1}{2x}<\cfrac{1}{3y}$，

可得$3y<2x<5z$，故选$A$.

对两个函数作差进行大小比较；

证明： $lnx\leq x-1(x>0)$

证明思路：【法1】数形结合法，令$f(x)=lnx$，$g(x)=x-1$，

在同一个坐标系中作出这两个函数的图像，

作差法_单调性_02

由图像可知，当$x> 0$时，都满足关系$lnx\leq x-1$。

【法2】：作差构造函数法，令$h(x)=lnx-x+1(x>0)$，则$h'(x)=\cfrac{1}{x}-1$，

当$0<x<1$时，$h'(x)>0$；当$x>1$时，$h'(x)<0$；

即函数$h(x)$在$(0，1)$上单调递增，在$(1，+\infty)$上单调递减，

故函数$h(x)_{max}=h(1)=0$，故$h(x)\leq 0$，当且仅当$x=1$时取到等号，

故$x> 0$时，总有$h(x)\leq 0$，即$lnx\leq >x-1$。

【法3】利用反函数法，此法主要基于$e^x\ge x+1$的结论，

由于函数$y=e^x$以及函数$y=x+1$关于直线$y=x$的对称函数

分别是$y=lnx$和函数$y=x-1$，故得到$lnx\leq x-1$。

【法4】：利用代数变换，由$e^x\ge x+1$，两边取自然对数得到$lne^x\ge ln(x+1)$，

即$x\ge ln(x+1)$，再用$x-1$替换$x$，得到$x-1\ge lnx$，即$lnx\leq x-1$。

作差法

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