本文主要参考文献如下

\qquad 这两篇文章前后继承，都是SFS线性化泰勒展开、牛顿迭代的经典算法，只不过Tsai使用了一元泰勒的一阶展开，赵建虎采用了三元泰勒的二阶展开。笔者在阅读以上两者的论文之后比较发现，Tsai的方法虽然表达简洁，但是会造成重建结果不太理想的问题，其明暗图中直接获取的灰度值作为线性主部的主成分过高，使得重建结果好像直接从明暗图中直接按照明暗强度绘制高度一样。而赵建虎学者的方法使用二阶展开，其表达过于繁琐，在使用时（特别还要结合侧扫声呐物理特性），会导致容易出现错误。因此，结合以上两人，笔者想要使用三变量一阶展开的侧扫声呐SFS模型，下面进行具体阐述。

一、公式推导

\qquad
$$0=f(x,y)=E(x,y)-\frac{1+\frac{sin\varphi }{cos\varphi }\cdot (Z_{x,y}-Z_{x-1,y})}{\sqrt{(\frac{sin\varphi }{cos\varphi }{)}^2+1}\cdot \sqrt{(Z_{x,y}-Z_{x-1,y}{)}^2+(Z_{x,y}-Z_{x,y-1}{)}^2+1}}$$ \qquad 当我们固定(x,y)为某一个特定点时，$x,y$就成为了常量,我们就可以采用主元法将$f$重新看为三元函数$f(Z_{x,y},Z_{x-1,y},Z_{x,y-1})$,而其他的量如$E(x,y)$为常量。
\qquad 将上式根据泰勒公式展开得到
$$0\approx F(0)+F(1)$$ \qquad 其中，$$F(0)=f({Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1})$$ $$\begin{gathered} F(1)={\frac{\partial f}{\partial Z_{x,y}}|}_{{Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1}}\cdot ({Z_{x,y}}^n-{Z_{x,y}}^{n-1})+ \\ {\frac{\partial f}{\partial Z_{x-1,y}}|}_{{Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1}}\cdot ({Z_{x-1,y}}^n-{Z_{x-1,y}}^{n-1})+ \\ {\frac{\partial f}{\partial Z_{x,y-1}}|}_{{Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1}}\cdot ({Z_{x,y-1}}^n-{Z_{x,y-1}}^{n-1}) \end{gathered}$$
\qquad 附上多元泰勒公式：

\qquad 解释：对$f(Z_{x,y},Z_{x-1,y},Z_{x,y-1})$按照三元函数泰勒展开形式在$({Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1})$的临近进行展开，并带入点$({Z_{x,y}}^n,{Z_{x-1,y}}^n,{Z_{x,y-1}}^n)$,当$({Z_{x,y}}^n,{Z_{x-1,y}}^n,{Z_{x,y-1}}^n)$和$({Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1})$充分接近时，函数值$f$会收敛到0.
\qquad 适当移项，即可得到牛顿迭代表达式：$$\begin{gathered} {Z_{x,y}}^n={Z_{x,y}}^{n-1}-\frac{F(0)+ \\ {\frac{\partial f}{\partial Z_{x-1,y}}|}_{{Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1}}\cdot ({Z_{x-1,y}}^n-{Z_{x-1,y}}^{n-1})+ \\ {\frac{\partial f}{\partial Z_{x,y-1}}|}_{{Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1}}\cdot ({Z_{x,y-1}}^n-{Z_{x,y-1}}^{n-1})}{{\frac{\partial f}{\partial Z_{x,y}}|}_{{Z_{x,y}}^{n-1},{Z_{x-1,y}}^{n-1},{Z_{x,y-1}}^{n-1}}} \end{gathered}$$
\qquad 其中$f$的表达式为$$f(Z_{x,y},Z_{x-1,y},Z_{x,y-1})=E(x,y)-\frac{1+\frac{sin\varphi }{cos\varphi }\cdot (Z_{x,y}-Z_{x-1,y})}{\sqrt{(\frac{sin\varphi }{cos\varphi }{)}^2+1}\cdot \sqrt{(Z_{x,y}-Z_{x-1,y}{)}^2+(Z_{x,y}-Z_{x,y-1}{)}^2+1}}$$ \qquad 并且 $\varphi =arctan\frac{x}{H-Z_{x,y}}$由于考虑到嵌套求导过于复杂，它是入射光参数，这里我选择进行近似忽略，从而有$$\varphi =arctan\frac{x}{H-Z_{x,y}^{n-1}}$$ \qquad 如此，$\varphi$便可视为与Z无关的常数，来源于之前所存储的数值。这样当我们要计算 $\frac{\partial f}{\partial Z_{x,y}}$、 $\frac{\partial f}{\partial Z_{x-1,y}}$、 $\frac{\partial f}{\partial Z_{x,y-1}}$时求导难度会大大降低。先尝试使用这个简化，如果重建结果理想则完全采纳。