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第276场周赛第三题
https://leetcode-cn.com/problems/solving-questions-with-brainpower/

题目内容

给你一个下标从0开始的二维整数数组questions，其中questions[i] = [pointsi, brainpoweri]。

这个数组表示一场考试里的一系列题目，你需要 按顺序 （也就是从问题 0 开始依次解决），针对每个问题选择解决或者跳过操作。解决问题i将让你获得pointsi的分数，但是你将无法解决接下来的 brainpower_i 个问题（即只能跳过接下来的 brainpower_i 个问题）。如果你跳过问题i，你可以对下一个问题决定使用哪种操作。

比方说，给你questions = [[3, 2], [4, 3], [4, 4], [2, 5]]：
如果问题0被解决了，那么你可以获得 3分，但你不能解决问题 1和2 。
如果你跳过问题 0 ，且解决问题1，你将获得4分但是不能解决问题2和3。
请你返回这场考试里你能获得的最高分数。

解决思路

裸dfs(超时)

纯dfs写法就是设置边界是题目号超过了题目数返回，否则，在第i题时，要不跳过这道题，进入下一题；要不就做这道题，跳过questions[i][1]题。

class Solution {
public:
    int ans;
    Solution()
    {
        ans=0;
    }
    void dfs(vector<vector<int>>& questions,int step,int score)
    {
        if(step>=questions.size())//当前题目号超过了题目数，就表示已经枚举完一种做题方式，查询此种方案的答案
        {
            if(score>ans)
            {
                ans=score;
                return;
            }
        }
        else
        {
            dfs(questions,step+questions[step][1]+1,score+questions[step][0]);//做当前的题目
            dfs(questions,step+1,score);//跳过这道题目
        }
    }
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {
        dfs(questions,0,0);
        return ans;
    }
};

这种写法，会在第21个测试用例超时，原因是这种递归方式，包含了许多重复的情况计算，因此我们需要对其进行优化。
在这里插入图片描述

记忆化搜索

上述方法包含了大量重复的情况，因此我们采取记忆化搜索的方式，将每一次得到的值进行一个保存，以便于后续dfs的时候直接返回。

typedef long long ll;
class Solution {
public:
    int n;
    vector<ll>dp;
    void dp_init(int n)
    {
        dp.resize(n+1);
    }
    ll dfs(vector<vector<int>>& questions,int i)
    {
        if(i>=n)
            return 0;
        else if(dp[i])
            return dp[i];//如果值得到保存，直接返回，不用往下做重复的递归
        else
            return dp[i]=max(dfs(questions,i+1),dfs(questions,i+questions[i][1]+1)+questions[i][0]);//取两种情况的最大值
    }
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {
        n = questions.size();
        dp_init(n);
        return dfs(questions,0);
    }
};

在这里插入图片描述
用此方法可以通过所有测试用例

动态规划

但是，递归的方法由于涉及到了堆栈的操作，效率相对递推法而言总是会慢一些，因此我们是否能够采用递归(动态规划)的方式进行求解呢？
利用动态规划，我们可以设置dp[i]为解决第i到第n-1个问题的最大分数，而在每种状态的选择当中，我们有选或者不选两种状态。因此，当选中时，dp[i]=questions[i][0]+dp[i+questions[i][1]+1];不选时，dp[i]=dp[i+1]。我们只要将这两种答案比较下，取最大值即可。
另外，需要注意的是，由于此时的最优子结构大小是从后往前的顺序的，i越小，dp[i]所包含的结构规模就越大！因此我们遍历的顺序也需要从后往前，倒序进行dp填表！

typedef long long ll;
class Solution {
public:
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {//反向dp
        int n = questions.size();
        vector<ll>dp(n+1);
        int i;
        for(i=n-1;i>=0;i--)
        {
            if(i+ll(questions[i][1])+1>=n)//如果越界了，那就直接返回当前的问题分数即可。
            {
                dp[i] = max(ll(questions[i][0]),dp[i+1]);
            }
            else
            {
                dp[i] = max(questions[i][0]+dp[i+questions[i][1]+1],dp[i+1]);//否则，则比较选或者不选两种情况
            }
        }
        return dp[0];//最开始的解包含了整个规模
    }
};

在这里插入图片描述
由此可见，相比记忆化的方法，时空规模有了一定的减小。

注意点

这道题最重要的点就是反向的动态规划，以往的传统动态规划题都是i从0到n进行遍历的，而这道题刚好反了过来，这说明我们的遍历顺序，在很大程度上和最优子结构之间的包含覆盖关系有紧密的关联。我们在选择i的遍历方向上，一定要根据子结构的覆盖关系来进行选取，后遍历的结构规模，一般都是大于前面的！

Leetcode 2140. 解决智力问题