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【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识

一脸伟人痣 2022-10-15 阅读 46


说明

【跟月影学可视化】学习笔记。

向量的点乘

假设有两个 N 维向量 a 和 b,​​a = [a1, a2, ...an],b = [b1, b2, ...bn]​​,那向量的点积代码如下:

a•b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

在 N 维线性空间中,a、b 向量点积的几何含义,是 a 向量乘以 b 向量在 a 向量上的投影分量。

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_叉积

当 a、b 两个向量平行时

a.x * b.x + a.y * b.y === a.length * b.length;

当 a、b 两个向量垂直时

a.x * b.x + a.y * b.y === 0;

向量的叉乘

向量 a 和 b 的叉积,就相当于向量 a(蓝色带箭头线段)与向量 b 沿垂直方向的投影(红色带箭头线段)的乘积。

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_2d_02


数学里计算叉乘:假设有两个三维向量 a(x1, y1, z1) 和 b(x2, y2, z2),那么,a 与 b 的叉积可以表示为一个如下图的行列式:

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_2d_03


行列式展开,公式如下:

a X b = [y1 * z2 - y2 * z1, - (x1 * z2 - x2 * z1), x1 * y2 - x2 * y1]

在右手系中求向量 a、b 叉积的方向时,大拇指所指的方向就是 a、b 叉积的方向,这个方向是垂直纸面向外(即朝向我们)。

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_2d_04


在二维空间里,由于 z 的值为 0,a X b 的数值,就等于 ​​x1 * y2 - x2 * y1​​。二维空间中向量叉乘的物理意义就是 a 和 b 的力矩(力矩你可以理解为一个物体在力的作用下,绕着一个轴转动的趋向。它是一个向量,等于力臂 L 和力 F 的叉乘。

叉乘和点乘不同点

  • 向量叉乘运算的结果不是标量,而是一个向量
  • 两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直

归一化

归一化就是让向量 v0除以它的长度(或者说是模)。归一化后的向量方向不变,长度为 1。

实例:扫描器

要检查某个点是否在扫描范围里

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_叉积_05

我们可以添加一个单位向量v (0,1) 与这个点的向量求叉积

点在扫描范围内,如向量 a,就一定满足:

|a X v| <= ||a||v|sin(30°)| = |sin(30°)| = 0.5

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_2d_06

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>扫描器</title>
</head>
<body>
<script type="module">
import { Vector2D } from './common/lib/vector2d.js';

function isInRange(v,) {
// a.normalize() 即将 a 归一化
// dot(v) => this.x * v.x + v.y * this.y
return v.dot(a.normalize()) >= Math.cos(Math.PI/6);
}
console.log("向量(1,1)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(1, 1)))
console.log("向量(0, 0)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(0, 0)))
console.log("向量(0, 2)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(0, 2)))
console.log("向量(0, -2)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(0, -2)))
console.log("向量(2, 0)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(2, 0)))
console.log("向量(-2, 0)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(-2, 0)))
console.log("向量(1, 4)在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(1, 4)))
</script>
</body>
</html>

【数学篇】06 # 可视化中你必须要掌握的向量乘法知识_叉乘_07


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