357. 统计各位数字都不同的数字个数 :「乘法原理」&「数位 DP」-CFANZ编程社区

题目描述

这是 LeetCode 上的 357. 统计各位数字都不同的数字个数 ，难度为中等。

Tag : 「数学」

给你一个整数，统计并返回各位数字都不同的数字的个数，其中。

示例 1：

输入：n = 2

输出：91

解释：答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99 外，在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。

示例 2：

输入：n = 0

输出：1

提示：

乘法原理

对于的情况较为特殊，特判一下，返回。

对于其他情况，由于不能含有前导，最高位可选择的数值个数为，而从次高位开始到最低位，可选的个数从开始逐一递减。

利用乘法原理，每位数可选的数值个数相乘即是长度为的数的可能方案数，而所有长度的方案数累加即是答案。

代码：

class Solution {
    public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        if (n == 0) return 1;
        int ans = 10;
        for (int i = 2, last = 9; i <= n; i++) {
            int cur = last * (10 - i + 1);
            ans += cur;
            last = cur;
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：
空间复杂度：

数位 DP

一种更为进阶的做法，应当是可以回答任意区间内合法数的个数。

这需要运用「数位 DP」进行求解，假定我们存在函数 int dp(int x) 函数，能够返回区间内合法数的个数，那么配合「容斥原理」我们便能够回答任意区间合法数的查询：

然后考虑如何实现 int dp(int x) 函数，我们将组成的合法数分成三类：

位数和相同，且最高位比最高位要小的，这部分统计为res1；
位数和相同，且最高位与最高位相同的，这部分统计为res2；
位数比少，这部分统计为res3。

其中 res1 和 res3 求解相对简单，重点落在如何求解 res2 上。

对 进行「从高到低」的处理（假定 数位为 ），对于第 位而言（ 不为最高位），假设在 中第位为 ，那么为了满足「大小限制」关系，我们只能在 范围内取数，同时为了满足「相同数字只能使用一次」的限制，我们需要使用一个 int 变量 来记录使用情况（用 的低十位来代指数字 是否被使用），统计 范围内同时符合两个限制条件的数的个数，记为 。

当第位有种合法选择之后，后面的位数可以在满足「相同数字只能使用一次」的限制条件下任意选择（因为大小关系已经由第位保证），为了快速知道剩下的位有多少种方案，我们还需要预处理乘积数组，其中代表的乘积之和。

上述讲解若是觉得抽象，我们可以举个 ????，假设，我们该如何求解 res2：由于限定了 res2 为「位数和相同，且最高位与最高位相同的」的合法数个数，因此最高位没有选，只能是，然后考虑处理次高位，次高位在中为，为了满足大小关系，我们只能在范围内做限制，同时由于已用过，因此次高位实际只有，共种选择，当确定次高位后，后面的位数任意取，由于前面已经填充了位（即消耗了个不同数字），因此从后面的位数开始应该是开始往后自减累乘到为止，即此时方案数为（当前位不是最低位）或者（当前位是最低位）。按照此逻辑循环处理所有位数即可，直到遇到重复数值或正常结束。

需要说明的是，上述的举例部分只是为方便大家理解过程，看懂了举例部分不代表理解了数位 DP 做法成立的内在条件，阅读的重点还是要放在前面加粗字体部分，只会使用样例理解算法永远不是科学的做法。

其他细节：乘积数组的预处理与样例无关，我们可以使用 static 进行打表优化。

代码：

class Solution {
    // f[l][r] 代表 i * (i + 1) * ... * (j - 1) * j
    static int[][] f = new int[10][10];
    static {
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            for (int j = i; j < 10; j++) {
                int cur = 1;
                for (int k = i; k <= j; k++) cur *= k;
                f[i][j] = cur;
            }
        }
    }
    int dp(int x) {
        int t = x;
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
        while (t != 0) {
            nums.add(t % 10);
            t /= 10;
        }
        int n = nums.size();
        if (n <= 1) return x + 1; // [0, 9]
        // 位数和 x 相同，但最高位比 x 最高位要小的
        int res1 = nums.get(n - 1) - 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) res1 *= (10 - i);
        // 位数和 x 相同，但最高位与 x 最高位相同的
        int res2 = 0;
        for (int i = n - 2, p = 2, s = (1 << (nums.get(n - 1))); i >= 0; i--, p++) {
            int cur = nums.get(i), cnt = 0;
            for (int j = cur - 1; j >= 0; j--) {
                if (((s >> j) & 1) == 0) cnt++;
            }
            int a = 10 - p, b = a - (n - p) + 1;
            res2 += b <= a ? cnt * f[b][a] : cnt;
            if (((s >> cur) & 1) == 1) break;
            s |= (1 << cur);
            if (i == 0) res2++;
        }
        // 位数比 x 少
        int res3 = 10;
        for (int i = 2, last = 9; i < n; i++) {
            int cur = last * (10 - i + 1);
            res3 += cur; last = cur;
        }
        return res1 + res2 + res3;
    }
    public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        return dp((int)Math.pow(10, n) - 1);
    }
}