PE 101 Optimum polynomial（拉格朗日插值）

Optimum polynomial

Problem 101

If we are presented with the first k

As an example, let us consider the sequence of cube numbers. This is defined by the generating function, 
u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

Suppose we were only given the first two terms of this sequence. Working on the principle that "simple is best" we should assume a linear relationship and predict the next term to be 15 (common difference 7). Even if we were presented with the first three terms, by the same principle of simplicity, a quadratic relationship should be assumed.

We shall define OP(k, n) to be the n^th term of the optimum polynomial generating function for the first k terms of a sequence. It should be clear that OP(k, n) will accurately generate the terms of the sequence for n ≤ k, and potentially the first incorrect term (FIT) will be OP(k,k+1); in which case we shall call it a bad OP (BOP).

As a basis, if we were only given the first term of sequence, it would be most sensible to assume constancy; that is, for n ≥ 2, OP(1, n) =u₁.

Hence we obtain the following OPs for the cubic sequence:

Clearly no BOPs exist for k

By considering the sum of FITs generated by the BOPs (indicated in red

Consider the following tenth degree polynomial generating function:

u_n = 1 − n + n² − n³ + n⁴ − n⁵ + n⁶ − n⁷ + n⁸ − n⁹ + n¹⁰

Find the sum of FITs for the BOPs.

题意：

最优多项式

如果我们知道了一个数列的前k项，我们仍无法确定地给出下一项的值，因为有无穷个多项式生成函数都有可能是这个数列的模型。

例如，让我们考虑立方数的序列，它可以用如下函数生成，
un = n3: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …

如果我们只知道数列的前两项，秉承“简单至上”的原则，我们应当假定这个数列遵循线性关系，并且预测下一项为15（公差为7）。即使我们知道了数列的前三项，根据同样的原则，我们也应当首先假定数列遵循二次函数关系。

给定数列的前k项，定义OP(k, n)是由最优多项式生成函数给出的第n项的值。显然OP(k, n)可以精确地给出n ≤ k的那些项，而可能的第一个不正确项（First Incorrect Term，简记为FIT）将会是OP(k, k+1)；如果事实的确如此，我们称这个多项式为坏最优多项式（Bad OP，简记为BOP）。

在最基本的情况下，如果我们只得到了数列的第一项，我们应当假定数列为常数，也就是说，对于n ≥ 2，OP(1, n) = u1。

由此，我们得到了立方数列的最优多项式如下：

显然，当k ≥ 4时不存在坏最优多项式。

所有坏最优多项式的第一个不正确项（用红色标示的数）之和为1 + 15 + 58 = 74。

考虑下面这个十阶多项式生成函数：

un = 1 − n + n2 − n3 + n4 − n5 + n6 − n7 + n8 − n9 + n10

求其所有坏最优多项式的第一个不正确项之和。

题解：

因为我们知道了一个数列的前k项，但我们仍无法确定地给出下一项的值，因为有无穷个多项式生成函数都有可能是这个数列的模型。从这里，我们可以想到拉格朗日插值。什么是拉格朗日插值？我简单得解释一下。

我们都做过数学的规律题，就是给你一个数列，然后让你猜下一个数是什么。这题也是这样。

先写一下拉格朗日插值的定义：

对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的x_j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

所谓的插值，就是“插”“值”，就是指找出一个通过给出离散数据点的函数。例如，数列中给出数据可以表示为在坐标系上的点，x坐标就是第几项，y坐标就是该项的值。然后画个图，找出这些数在哪个函数数，求出这个函数，这样就可以求出下一项了。先试一个简单的数列：1、8、27…那下一个是什么呢？

我们知道:

那么：

那么下一项就是将x=4代入上面的二元一次方程，就是58啦。

如果你发现这个答案其实是错的！正确的是y=x^3? 其实答案是64。那就是拉格朗日插值是错的咯？

再仔细看一下坑爹的高数课本，才发现原来是我们一直搞错了。如果我们给的是n个点，那么拉格朗日给出的函数将会是(n-1)次的。

也就是拉格朗日插值:n次多项式可以用n+1个点唯一确定.

这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚这个函数是几次的，而且如果是更高次数的还没办法加上点去求。

这就意味着，就算是1、2、3、4、5、6…这样的数列，拉格朗日插值法在耗尽你大量的考试时间去求出通项公式以后，还会给出一个超级坑爹的答案！

那么这个方法还有什么用！
别急，前面的计算都是为后面做铺垫的。现在才是重点。

无论是分布得多么奇怪的点，拉格朗日插值法总能给出一条经过这些点的函数图象。也就是说，就算是1、2、3、4、5、6、1568这样明显不靠谱的答案也是“有规律的”。因为你总可以设一个六次多项式，找出这个数列的通项公式。
所以说：
1、3、5、7、9、1598，是对的
3、1、4、1、5、9、2、999，是对的
1，1，2，3，5，7，8989，是对的
2，4，6，8，5，是对的

你想怎么写都是对的，即使看起来不靠谱，但其仍然存在内在关系与规律。

解释完啦！

插值公式是:

拉格朗日插值法可以帮助我们解决以下的问题：
例如：已知x取值0，1，-1，2时， f{x}取值2，2，0，6 。
求x=3时f{x}的值。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int xs[4]={0,1,-1,2};
int ys[4]={2,2,0,6};
//f(3)?
      
int lagrange_Polynomial(int x, int xs[],int ys[]) 
{
    int c1,c2; 
    int n=4;
    c1=1; 
    for(int i=0;i<n;i++)
    { 
        c2=ys[i]; 
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(j!=i) c2=c2*((x-xs[j])*1.0)/((xs[i]-xs[j])*1.0); 
        }
        c1+=c2; 
    } 
    return c1;
}
int main()
{
    int val=lagrange_Polynomial(3,xs,ys);
    cout<<val<<endl; //输出 ：20 
    return 0;
}

同理，PE101这题就可以按相同的方法解出来啦。

如果你做出了PE101，你可以做另外一题：Codeforces 622F