（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.2_群及其性质

• ​​群及其性质​​

• ​​陪集​​

• ​​左右陪集关系​​
• ​​子群的指数​​

• ​​Lagrange定理​​

• ​​推论​​

• ​​同态&同构​​

• ​​定义​​
• ​​注​​

• ​​同构映射的性质​​

• ​​注记​​

群及其性质

陪集

定义：令，称为左陪集，称为右陪集，统称陪集；称为相应陪集的代表元素。

性质：

1. ;
2. 有,;
3. ，有;

左右陪集关系

都是上的二元关系。

定理：

都是上的等价关系，且有, .

推论：

1. 对,或者，或者;
2. ;
3. 左右陪集的个数相等。

子群的指数

定义：设是一个群，，则子群的陪集个数称为子群在群中的指数，一般记为.

Lagrange定理

设是有限群，，则.

即：有限群的任何子群的阶都是的因子。

推论

有限群的任何元素的周期都是的因子。

同态&同构

定义

设和是两个群，如果存在到的映射，使得对于均有，则称是群到群上的一个同态映射，并称群和群是同态的，记为，简记为.

如果是同态映射且是到 的一个一一对应，则称是群到群的一个同构映射，此时称群 和群是同构的，记为，简记为.

注

群的同构关系是全体群集合上的一个等价关系。

两个同构的群具有完全相同的性质和代数结构，可以同等对待（同一个群的不同符号表示）。

同构映射的性质

1. 设和是两个同构的群，和分别是他们的单位元，是到的同构映射，则有
2. 设是一个循环群，如果是无限群，则; 如果是有限群，则

注记

从同构意义上讲，有限的循环群我们只需要研究，无限的循环群我们只需要研究就可以了。

任何一个有限群都与一个置换群同构，所以置换群在群论研究中十分重要。