三维空间——点线面关系

最基础最重要的概念——叉积，说到叉积就要聊聊行列式。

行列式的代数意义与Cramer法则联系密切，先来个简单的例子，

消除x2得到这样的结果：

.    行列式

正是那个分母，其计算和叉积一样。

行列式的几何意义更加丰富，面积，体积……如上面的那个行列式就是向量为

的叉积。也就是他们构成的平面的有向面积。

推广到三阶就是在x,y,z轴向量方向上的有向体积。

故在三维空间中，向量

的叉积应该是（参照上图）。几何意义是对应平面的垂直向量，于是乎很多的问题得到了解决：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-7;
struct point{
    double x,y,z;
    point(){}
    point(double p1,double p2,double p3){
       x=p1;  y=p2;  z=p3;
    }
};
// 叉积
point xmulti(point p1,point p2){
    return point(p1.y*p2.z-p1.z*p2.y,p1.z*p2.x-p1.x*p2.z,p1.x*p2.y-p1.y*p2.x);
}
// 点积
double dmulti(point p1,point p2){
    return p1.x*p2.x+p1.y*p2.y+p1.z*p2.z;
}
// 向量之差
point sub(point p1,point p2){
     return point(p1.x-p2.x,p1.y-p2.y,p1.z-p2.z);
}
// 向量长度
double len(point p){
    return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y+p.z*p.z);
}
// 四点共面
bool Plane4(point p1,point p2,point p3,point p4){
     point v=xmulti(sub(p2,p3),sub(p2,p4));
     if(fabs(dmulti(sub(p1,p2),v))<eps) return 1;
     return 0;
}
// 两直线平行
bool parallel(point p1,point p2,point q1,point q2){
     point v1=sub(p1,p2);
     point v2=sub(q1,q2);
     if(len(xmulti(v1,v2))<eps) return 1;
     return 0;
}
// 求解交点
point intersc(point p1,point p2,point p3,point p4){
    point ans=p1;   //面积比
    double t=len(xmulti(sub(p1,p3),sub(p4,p3)))/len(xmulti(sub(p2,p1),sub(p4,p3)));
    ans.x+=(p2.x-p1.x)*t;
    ans.y+=(p2.y-p1.y)*t;
    ans.z+=(p2.z-p1.z)*t;
    return ans;
}

线与面：

// ----判断线面相交----
// 判断两点在平面同侧  点积等于0表示在平面上
bool same_side(point p1,point p2,point s1,point s2,point s3){
    point v=xmulti(sub(s1,s2),sub(s2,s3));  //平面法向量
    return dmulti(v,sub(s1,p1))*dmulti(v,sub(s1,p2))>eps;
}
// 判断线和平面平行
bool paral(point p1,point p2,point s1,point s2,point s3){
    return dmulti(sub(p1,p2),xmulti(sub(s1,s2),sub(s2,s3)))<eps;
}

// 求线面交点
point Line_Plane(point p1,point p2,point s1,point s2,point s3){
    point vec=xmulti(sub(s1,s2),sub(s2,s3));
    double bi=dmulti(vec,sub(s1,p1))/dmulti(vec,sub(p2,p1));  //三菱锥体积之比
    vec.x=p1.x+(p2.x-p1.x)*bi;
    vec.y=p1.y+(p2.y-p1.y)*bi;
    vec.z=p1.z+(p2.z-p1.z)*bi;
    return vec;
}

面与面：

// 判断两平面是否平行
struct plane{
    point s1,s2,s3;
    plane(point p1,point p2,point p3):s1(p1),s2(p2),s3(p3){}
    point getv(){
        point v=xmulti(sub(s1,s2),sub(s2,s3));
        return v;
    }
};
//判断面面平行
bool Plane_paral(plane S1,plane S2){
    point v1=S1.getv(),v2=S2.getv();
    return len(xmulti(v1,v2))<eps;
}
// 判断两平面垂直
bool Plane_vert(plane S1,plane S2){
    point v1=S1.getv(),v2=S2.getv();
    return fabs(dmulti(v1,v2))<eps;
}

//面面相交的交点

struct line{
    point p1,p2;
    line():p1(),p2(){};
    line(point _p1,point _p2):p1(_p1),p2(_p2){}
};
bool same_side(point p1,point p2,plane S){
    point v=xmulti(sub(S.s1,S.s2),sub(S.s2,S.s3));  //平面法向量
    return dmulti(v,sub(S.s1,p1))*dmulti(v,sub(S.s1,p2))>eps;
}
bool paral(point p1,point p2,plane S){
    return dmulti(sub(p1,p2),xmulti(sub(S.s1,S.s2),sub(S.s2,S.s3)))<eps;
}
point Line_Plane(point p1,point p2,plane S){
    point vec=xmulti(sub(S.s1,S.s2),sub(S.s2,S.s3));
    double bi=dmulti(vec,sub(S.s1,p1))/dmulti(vec,sub(p2,p1));  //三菱锥体积之比
    vec.x=p1.x+(p2.x-p1.x)*bi;
    vec.y=p1.y+(p2.y-p1.y)*bi;
    vec.z=p1.z+(p2.z-p1.z)*bi;
    return vec;
}
line Plane_interc(plane S1,plane S2){
    point p1,p2; //写得有些恶心
    if(same_side(S1.s1,S1.s2,S2)
       && paral(S1.s1,S1.s2,S2))
        p1=Line_Plane(S1.s2,S1.s3,S2);
    else p1=Line_Plane(S1.s1,S1.s2,S2);
    if(same_side(S1.s3,S1.s1,S2)
       && paral(S1.s3,S1.s1,S2))
        p2=Line_Plane(S1.s2,S1.s3,S2);
    else p2=Line_Plane(S1.s3,S1.s1,S2);
    line res(p1,p2);
    return res;
}

点到线：

设直线是P1P2，线外的一个点P3，求点到直线投影点

关键的两个向量是p3-p，p2-p1，他们满足(p3-p)(p2-p1)=0 （点积） (1)

设相关比例u，满足p=p1+(p2-p1)u (2)

将(2)带入(1)有：

那么P的坐标用（2）即可求出

至于距离，用面积解决。

// 距离方
double dis2(point p1,point p2){
    return (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)+(p1.z-p2.z)*(p1.z-p2.z);
}
// 向量之差
point sub(point p1,point p2){
     return point(p1.x-p2.x,p1.y-p2.y,p1.z-p2.z);
}
// 向量长度
double len(point p){
    return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y+p.z*p.z);
}
// 投影点
point toLineP(point p,line L){
    point V31=sub(p,L.p1);
    point V21=sub(L.p2,L.p1);
    double u=dmulti(V31,V21)/dis2(L.p1,L.p2);
    point res(L.p1);
    res.x+=(L.p2.x-L.p1.x)*u;
    res.y+=(L.p2.y-L.p1.y)*u;
    res.z+=(L.p2.z-L.p1.z)*u;
    return res;
}
// 点到线的距离
double toLineDis(point p,line L){
    return len(xmulti(sub(L.p1,p),sub(L.p1,L.p2)))/sqrt(dis2(L.p1,L.p2));
}

点到面的距离：

借助法向量可以发现，距离即是op'。op'的距离也即是

struct plane{
    point s1,s2,s3;
    plane(point p1,point p2,point p3):s1(p1),s2(p2),s3(p3){}
    point getv(){
        point v=xmulti(sub(s1,s2),sub(s2,s3));
        return v;
    }
};
double pToPlane(point p,plane S){
     point v=xmulti(sub(S.s1,S.s2),sub(S.s2,S.s3));
     return fabs(dmulti(v,sub(S.s1,p))/len(v));
}

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先到这里。。。
在以后的时间里，还得继续查看它们有哪些错误。。