【刷穿 LeetCode】470. 用 Rand7() 实现 Rand10() : k 进制诸位生成 + 拒绝采样-CFANZ编程社区

题目描述

这是 LeetCode 上的 470. 用 Rand7() 实现 Rand10() ，难度为中等。

Tag : 「位运算」、「数学」

已有方法 rand7 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。

不要使用系统的 Math.random() 方法。

示例 1:

输入: 1

输出: [7]

示例 2:

输入: 2

输出: [8,4]

示例 3:

输入: 3

输出: [8,1,10]

提示:

rand7 已定义。
传入参数: n 表示 rand10 的调用次数。

进阶:

rand7()调用次数的期望值是多少 ?
你能否尽量少调用 rand7() ?

基本分析

给定一个随机生成 ~ 的函数，要求实现等概率返回 ~ 的函数。

首先需要知道，在输出域上进行定量整体偏移，仍然满足等概率，即要实现 ~ 随机器，只需要在 rand7 的返回值上进行操作即可。

但输出域的拼接/叠加并不满足等概率。例如 rand7() + rand7() 会产生范围内的数，但每个数并非等概率：

产生的概率为：
产生的概率为：

在这个数里面，等概率的数值不足个。

因此，你应该知道「执行两次 rand7() 相加，将 范围内的数进行返回，否则一直重试」的做法是错误的。

进制诸位生成 + 拒绝采样

上述做法出现概率分布不均的情况，是因为两次随机值的不同组合「相加」的会出现相同的结果（、、最终结果均为）。

结合每次执行 rand7 都可以看作一次独立事件。我们可以将两次 rand7 的结果看作生成进制的两位。从而实现每个数值都唯一对应了一种随机值的组合（等概率），反之亦然。

举个????，设随机执行两次 rand7 得到的结果分别是（第一次）、（第二次），由于我们是要进制的数，因此可以先对 rand7 的执行结果进行操作，将输出域偏移到（仍为等概率），即得到（第一次）和（第二次），最终得到的是数值，数值唯一对应了我们的随机值组合方案，反过来随机值组合方案也唯一对应一个进制的数值。

那么根据「进制转换」的相关知识，如果我们存在一个 randK 的函数，对其执行 次，我们能够等概率产生 范围内的数值。

回到本题，执行一次 rand7 只能产生范围内的数值，不足个；而执行次 rand7 的话则能产生范围内的数值，足够个，且等概率。

我们只需要判定生成的值是否为题意的即可，如果是的话直接返回，否则一直重试。

代码：

class Solution extends SolBase {
    public int rand10() {
        while (true) {
            int ans = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1); // 进制转换
            if (1 <= ans && ans <= 10) return ans;
        }
    }
}

时间复杂度：期望复杂度为，最坏情况下为
空间复杂度：

进阶

降低对rand7 的调用次数

我们发现，在上述解法中，范围中，只有范围内的数据会被接受返回，其余情况均被拒绝重试。

为了尽可能少的调用 rand7 方法，我们可以从中取与成倍数关系的数，来进行转换。

我们可以取中的范围内的数来代指。

首先在中取仍为等概率，其次形如的数值有个（、、、），形如的数值有个（、、、）... 因此最终结果仍为等概率。

代码：

class Solution extends SolBase {
    public int rand10() {
        while (true) {
            int ans = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1); // 进制转换
            if (1 <= ans && ans <= 40) return ans % 10 + 1;
        }
    }
}