1、问题描述
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
2、Dijkstra算法
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。
伪代码如下：
Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]<dist[i]，则需要更新dist[i]的值。步骤如下：
(1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧<vi,vj>上的权值。设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i], vi属于V.
(2) 选择vu, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}.
(3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j].
(4) 重复操作(2),(3)共n-1次.
算法具体实现如下：
import java.util.Scanner;
public class SSSP
{
public static void main(String[] args)
{
Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out.print("请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)：");
int n = input.nextInt(); //顶点的个数
int m = input.nextInt(); //边的个数
System.out.println();
int[][] a = new int[n + 1][n + 1];
//初始化邻接矩阵
for(int i = 0; i < a.length; i++)
{
for(int j = 0; j < a.length; j++)
{
a[i][j] = -1; //初始化没有边
}
}
System.out.println("请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)：");
//总共m条边
for(int i = 0; i < m; i++)
{
//起点，范围1到n
int s = input.nextInt();
//终点，范围1到n
int e = input.nextInt();
//长度
int l = input.nextInt();
if(s >= 1 && s <= n && e >= 1 && e <= n)
{
//无向有权图
a[s][e] = l;
a[e][s] = l;
}
}
System.out.println();
//距离数组
int[] dist = new int[n+1];
//前驱节点数组
int[] prev = new int[n+1];
int v =1 ;//顶点，从1开始
dijkstra(v, a, dist, prev);
}
/**
* 单源最短路径算法(迪杰斯特拉算法)
* @param v 顶点
* @param a 邻接矩阵表示图
* @param dist 从顶点v到每个点的距离
* @param prev 前驱节点数组
*/
public static void dijkstra(int v, int[][] a, int[] dist, int[] prev)
{
int n = dist.length;
/**
* 顶点从1开始，到n结束，一共n个结点
*/
if(v > 0 && v <= n)
{
//顶点是否放入的标志
boolean[] s = new boolean[n];
//初始化
for(int i = 1; i < n; i++)
{
//初始化为 v 到 i 的距离
dist[i] = a[v][i];
//初始化顶点未放入
s[i] = false;
//v到i无路，i的前驱节点置空
if(dist[i] == -1)
{
prev[i] = 0;
}
else
{
prev[i] = v;
}
}
//v到v的距离是0
dist[v] = 0;
//顶点放入
s[v] = true;
//共扫描n-2次，v到v自己不用扫
for(int i = 1; i < n - 1; i++)
{
int temp = Integer.MAX_VALUE;
//u为下一个被放入的节点
int u = v;
//这个for循环为第二步，观测域为v的观测域
//遍历所有顶点找到下一个距离最短的点
for(int j = 1; j < n; j++)
{
//j未放入，且v到j有路，且v到当前节点路径更小
if(!s[j] && dist[j] != -1 && dist[j] < temp)
{
u = j;
//temp始终为最小的路径长度
temp = dist[j];
}
}
//将得到的下一节点放入
s[u] = true;
//这个for循环为第三步，用u更新观测域
for(int k = 1; k < n; k++)
{
if(!s[k] && a[u][k] != -1)
{
int newdist=dist[u] + a[u][k];
if(newdist < dist[k] || dist[k] == -1)
{
dist[k] = newdist;
prev[k] = u;
}
}
}
}
}
for(int i = 2; i < n; i++)
{
System.out.println(i + "节点的最短距离是："
+ dist[i] + "；前驱点是：" + prev[i]);
}
}
}
View Code
例，如图中的有向图，应用 Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程如下表所示：
3、贪心选择性质
从V-S中选择具有最短特殊路径的顶点u，从而确定从源到u的最短路径长度dist[u]。为什么从源到u没有更短的其他路径？如图，如果存在一条从源到u且长度比dist[u]更短的路，设这条路初次走出S之外到达的顶点为x(x属于V-S)，然后徘徊于S内外若干次，左后离开S到达u。在这条路上分别记d(v,x),d(x,u)和d(v,u)为顶点v到顶点x,顶点x到顶点u，顶点v到顶点u的路长。则有：
dist[x]<=dist[u]与u是当前贪心选择矛盾！4、最优子结构性质
该性质描述为：如果S(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么S(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设S(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有S(i,j)=S(i,k)+S(k,s)+S(s,j)。而S(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径S'(k,s)，那么S'(i,j)=S(i,k)+S'(k,s)+S(s,j)<S(i,j)。则与S(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
5、计算复杂性
对于一个具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要O(n)时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要O(n^2)时间。算法的其余部分所需要的时间不超过O(n^2)。
程序运行结果为：
6.小结
参考文献：北大《算法设计与分析》公开课
王晓东《算法设计与分析》第二版
