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反函数
said:
Ronin丶
函数y=f(x)的自变量x与因变量y的关系往往是相对的.有时我们不仅要研究y随x而变化的状况,也要研究x随y而变化的状况.对此,我们引入反函数概念.
设函数
y=f(x),x∈D) (1)
满足:对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x,使得
f(x)=y,
则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称这个函数为f的反函数,记作
f^-1:f(D)→D,
或
x=f^-1(y),y∈f(D) (2)
注1 函数f有反函数,意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射.我们称f^-i为映射f的逆映射,它把集合f(D)映射到集合D,即把f(D)中的每一个值f(a)对应到D中唯一的一个值a.这时称a为逆映射f^-1下f(a)的像,而f(a)则是a在逆映射f^-1下的原像.
从上述讨论还可看到,函数f也是函数f^-1的反函数.或者说,f与f^-1互为反函数.并有:
f^-1(f(x)) ≡x,x∈D,
f(f^-1(y)) ≡y,y∈f(D)
注2 在反函数f^-1的表示式(2)中,是以y为自变量,x为因变量.若按习惯仍用x作为自变量的记号,y作为因变量的记号,则函数(1)的反函数(2)可改写
y=f^-1(x),x∈f(D) (3)
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2
初等函数
said:
Ronin丶
在中学数学中,读者已经熟悉基本初等函数有以下六类:
常量函数 y=c(c是常数);
幂函数 y=x^a(a为实数);
指数函数 y=a^x(a>0,a≠1);
对数函数 y=logax(a>0,a≠1);
三角函数 y=sinx(正弦函数),
y=cosx(余弦函数),
y=tanx(正切函数),
y=cotx(余切函数);
反三角函数
y= arcsinx(反正弦函数) ,
y= arccosx(反余弦函数),
y= arctanx(反正切函数),
y= arccotx(反余切函数).
定义1 给定实数a>0,a≠1.设x为无理数,我们规定
注 对任一无理数x,必有有理数ro,使x<ro,则当有理数r<x时有r<ro,从而由有理数乘幂的性质,当a>1时有a^r<a^r0.表明非空数集
{a^r|r<x,r为有理数}
有一个上界a^r0.由确界原理,该数集有上确界.
定义2 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初等函数.
不是初等函数的函数,称为非初等函数.如:狄利克雷函数和黎曼函数,都是非初等函数.
pink
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编辑人:Pink
审核人:夏然,水亦心