2-14格雷码问题
（一）题目
问题描述
Gray码是一个长度为 2 n 2^n 2n的序列。序列中无相同元素，每个元素都是长度为 n的(0,1)串，相邻元素只有一位不同。用分治策略设计一个算法对任意的 n构造相应的Gary码。
（二）解答
方法：分治递归
算法思路
运用分治递归求解 n n n位的Gray码的思路为：
将求解 n n n位Gray码的问题划分成求解 n − 1 n-1 n−1位Gray码的问题，再将求解 n − 1 n-1 n−1位Gray码的问题划分成求解 n − 2 n-2 n−2位Gray码的问题…直到划分成求解1位Gray码的问题，1位Gray码为0和1，通过1位Gray码构造出2位格雷码，再通过2位Gray码构造出3位Gray码…直到构造出 n n n位Gray码。
参考反射法，从 n − 1 n-1 n−1位Gray码构造 n n n位Gray码的思路为：
（1）把 2 n 2^n 2n个Gray码分成两部分；
（2）把前 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1个Gray码的最高位置0，其余位与 n − 1 n-1 n−1位Gray码一一对应，无需更改；
（3）把后 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1个Gray码的最高位置1，其余位由 n − 1 n-1 n−1位Gray码上下翻转而来。
举例
以从1位Gray码开始构造3位Gray码为例：
将构造3位Gray码的问题分治为构造2位Gray码的问题，再将构造2位Gray码的问题分治为构造1位Gray码的问题，1位Gray码为0、1，从1位Gray码构造出2位Gray码，再从2位Gray码构造出3位Gray码即可。
构造流程如下：
源代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[10000][10000];
//求num个n位Gray码
void GrayCode(int n, int num);
int main()
{
int n;
//输入Gray码位数n
cin>>n;
//n位Gray码的个数num
int num = (int)pow(2.0, n);
//求num个n位Gray码
GrayCode(n, num);
//输出num个n位Gray码
//为了方便运算，Gray码的矩阵从左上角开始构建，最高位在最右边，输出时每个Gray码从右往左输出
for (int i = 0; i < num; ++i)
{
for (int j = n - 1; j >= 0; --j)
{
cout<<a[i][j];
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
void GrayCode(int n, int num)
{
//分治到只有1位Gray码的情况
if (n == 1)
{
a[0][0] = 0;
a[1][0] = 1;
return;
}
//将求解n位Gray码的问题划分成求解n-1位Gray码的问题
GrayCode(n - 1, num / 2);
//n位Gray码的前半部分最高位置0，其余位不变
for (int i = 0; i < num / 2; ++i)
{
a[i][n-1] = 0;
}
//n位Gray码的后半部分最高位置1，其余位由n-1位Gray码翻转而来
for (int i = num / 2; i < num; ++i)
{
a[i][n-1] = 1;
for (int j = 0; j < n - 1; ++j)
{
a[i][j] = a[num - i - 1][j];
}
}
}
（三）总结
复杂度分析
递归函数GrayCode()的时间复杂度为：
T
1
(
n
)
=
{
O
(
1
)
,
n
=
1
T
1
(
n
−
1
)
+
O
(
n
⋅
2
n
)
,
n
>
1
T1(n)=\begin{cases} \Omicron(1),\;\qquad \qquad \qquad \quad \qquad n=1\\ T1(n-1)+\Omicron(n\cdot2^n),\qquad n>1\\ \end{cases}
T1(n)={O(1),n=1T1(n−1)+O(n⋅2n),n>1
因此，
T
1
(
n
)
=
T
1
(
n
−
1
)
+
n
⋅
2
n
O
(
1
)
=
O
(
1
)
+
2
⋅
2
2
O
(
1
)
+
.
.
.
+
n
⋅
2
n
O
(
1
)
=
O
(
1
)
+
(
2
n
−
1
)
2
n
O
(
1
)
=
O
(
n
⋅
2
n
)
\begin{aligned}T1(n)&=T1(n-1)+n\cdot2^n\Omicron(1)\\&=\Omicron(1)+2\cdot2^2\Omicron(1)+...+n\cdot2^n\Omicron(1)\\&=\Omicron(1)+(2n-1)2^n\Omicron(1)\\&=\Omicron(n\cdot2^n)\end{aligned}
T1(n)=T1(n−1)+n⋅2nO(1)=O(1)+2⋅22O(1)+...+n⋅2nO(1)=O(1)+(2n−1)2nO(1)=O(n⋅2n)
整个算法的时间复杂度为：
T
(
n
)
=
O
(
n
⋅
2
n
)
+
T
1
(
n
)
=
O
(
n
⋅
2
n
)
+
O
(
n
⋅
2
n
)
=
O
(
n
⋅
2
n
)
\begin{aligned}T(n)&=\Omicron(n\cdot2^n)+T1(n)\\&=\Omicron(n\cdot2^n)+\Omicron(n\cdot2^n)\\&=\Omicron(n\cdot2^n)\end{aligned}
T(n)=O(n⋅2n)+T1(n)=O(n⋅2n)+O(n⋅2n)=O(n⋅2n)
