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375. 猜数字大小 II :「记忆化搜索」&「区间 DP」&「打表」


题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​375. 猜数字大小 II​​ ,难度为 中等

Tag : 「博弈论」、「区间 DP」、「记忆化搜索」

我们正在玩一个猜数游戏,游戏规则如下:

  1. 我从​​1​​​ 到​​n​​ 之间选择一个数字。
  2. 你来猜我选了哪个数字。
  3. 如果你猜到正确的数字,就会 赢得游戏 。
  4. 如果你猜错了,那么我会告诉你,我选的数字比你的 更大或者更小 ,并且你需要继续猜数。
  5. 每当你猜了数字​​x​​​ 并且猜错了的时候,你需要支付金额为​​x​​ 的现金。如果你花光了钱,就会 输掉游戏 。

给你一个特定的数字 ​​n​​ ,返回能够 确保你获胜 的最小现金数,不管我选择那个数字 。

示例 1: 375. 猜数字大小 II :「记忆化搜索」&「区间 DP」&「打表」_LeetCode

输入:n = 10

输出:16

解释:制胜策略如下:
- 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。
- 如果这是我选中的数字,你的总费用为 $0 。否则,你需要支付 $7 。
- 如果我的数字更大,则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。
- 如果这是我选中的数字,你的总费用为 $7 。否则,你需要支付 $9 。
- 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏,总费用为 $7 + $9 = $16 。
- 如果我的数字更小,那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏,总费用为 $7 + $9 = $16 。
- 如果我的数字更小,则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
- 如果这是我选中的数字,你的总费用为 $7 。否则,你需要支付 $3 。
- 如果我的数字更大,则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。
- 如果这是我选中的数字,你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则,你需要支付 $5 。
- 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏,总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
- 如果我的数字更小,那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏,总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
- 如果我的数字更小,则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。
- 如果这是我选中的数字,你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则,你需要支付 $1 。
- 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏,总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。
在最糟糕的情况下,你需要支付 $16 。因此,你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。

示例 2:

输入:n = 1

输出:0

解释:只有一个可能的数字,所以你可以直接猜 1 并赢得游戏,无需支付任何费用。

示例 3:

输入:n = 2

输出:1

解释:有两个可能的数字 1 和 2 。
- 你可以先猜 1 。
- 如果这是我选中的数字,你的总费用为 $0 。否则,你需要支付 $1 。
- 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏,总费用为 $1 。
最糟糕的情况下,你需要支付 $1 。

提示:

  • 1 <= n <= 200

基本分析

这不是一道可通过「二分」求解的题目,主要原因为每次惩罚的金额不固定,最小惩罚次数不等同于猜中数字的最小成本。

记忆化搜索

比较容易想到的做法为使用「递归」进行求解。

设计递归函数为 ​​int dfs(int l, int r)​​​ 传入参数 ​​l​​​ 和 ​​r​​​ 代表在范围 内进行猜数,返回值为在 内猜中数字至少需要多少钱。

我们可决策的部分为「选择猜哪个数 」,而不可决策的是「选择某个数 之后(假设没有猜中),真实值会落在哪边」。

因此为求得「最坏情况下最好」的结果,我们应当取所有的 中的最小值。

最后,为减少重复计算,我们需要在「递归」基础上加入记忆化搜索。并且当我们使用 ​​static​​​ 修饰 时,可以确保每个区间的计算在所有样例中只会发生一次。

375. 猜数字大小 II :「记忆化搜索」&「区间 DP」&「打表」_LeetCode_02

代码:

class Solution {
static int N = 210;
static int[][] cache = new int[N][N];
public int getMoneyAmount(int n) {
return dfs(1, n);
}
int dfs(int l, int r) {
if (l >= r) return 0;
if (cache[l][r] != 0) return cache[l][r];
int ans = 0x3f3f3f3f;
for (int x = l; x <= r; x++) {
// 当选择的数位 x 时,至少需要 cur 才能猜中数字
int cur = Math.max(dfs(l, x - 1), dfs(x + 1, r)) + x;
// 在所有我们可以决策的数值之间取最优
ans = Math.min(ans, cur);
}
cache[l][r] = ans;
return ans;
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:忽略递归带来的额外空间开销,复杂度为

区间 DP

同样能够通过「递推」来进行求解。

通过「记忆化搜索」的递归过程,我们发现,在求解 的最小成本时,需要依赖于 和 这样的比 更小的区间。

这引导我们使用「区间 DP」进行求解,对「区间 DP」不了解的同学可以先看 ​​「区间 DP」入门题​​ 。

定义 为考虑在 范围内进行猜数的最小成本。

不失一般性的考虑 该如何计算。同样的,我们可决策的部分为「选择猜哪个数 」,而不可决策的是「选择某个数 之后(假设没有猜中),真实值在落在哪边」。

我们对本次选择哪个数进行讨论,假设本次选择的数值为 ( ),则有

最终的 为所有可选的数值 中的最小值。

375. 猜数字大小 II :「记忆化搜索」&「区间 DP」&「打表」_记忆化搜索_03

代码:

class Solution {
public int getMoneyAmount(int n) {
int[][] f = new int[n + 10][n + 10];
for (int len = 2; len <= n; len++) {
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
f[l][r] = 0x3f3f3f3f;
for (int x = l; x <= r; x++) {
int cur = Math.max(f[l][x - 1], f[x + 1][r]) + x;
f[l][r] = Math.min(f[l][r], cur);
}
}
}
return f[1][n];
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

打表

由于任意的 对应结果均为定值,可以进行打表预处理。

375. 猜数字大小 II :「记忆化搜索」&「区间 DP」&「打表」_时间复杂度_04

代码:

class Solution {
static int N = 200;
static int[][] f = new int[N + 10][N + 10];
static {
for (int len = 2; len <= N; len++) {
for (int l = 1; l + len - 1 <= N; l++) {
int r = l + len - 1;
f[l][r] = 0x3f3f3f3f;
for (int x = l; x <= r; x++) {
int cur = Math.max(f[l][x - 1], f[x + 1][r]) + x;
f[l][r] = Math.min(f[l][r], cur);
}
}
}
}
public int getMoneyAmount(int n) {
return f[1][n];
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.375​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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