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取整函数及其性质

取整函数及其性质

1、取整函数定义及分类

取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个,分别是下取整函数和上取整函数。

  • ​​Floor and ceiling functions - Wikipedia​​
  • ​​Useful Properties of the Floor and Ceil Functions​​

下取整函数在数学中一般记作\(\left \lfloor x \right \rfloor\),比自己小的最大整数,在计算机科学中一般记作\(floor(x)\);

上取整函数在数学中一般记作\(\left \lceil x \right \rceil\),比自己大的最小整数,在计算机科学中一般记作\(ceil(x)\)。

2、性质:(仅列举计算机学习中经常用到的性质)

  • 任意实数\(x\),有: \(x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1\)
  • 下取整函数为等幂运算: \(\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor.\)
  • 对任意的整数 \(k\) 和任意实数 \(x\),\(\left \lfloor k+x \right \rfloor = k + \left \lfloor x \right \rfloor\)
  • 一般的数值修约规则可以表述为将\(x\)映射到 \(floor(x + 0.5)\)。
  • \(\left \lceil x \right \rceil = - \left \lfloor -x \right \rfloor\)
  • 对于整数\(k\)有:\(\left \lfloor k/2 \right \rfloor + \left \lceil k/2 \right \rceil = k\)

3、对数与取整函数的关系

二者关系为:

\(\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = \left \lfloor \log x \right \rfloor +1, x\in Z, x\geqslant 1\)

证明:

令\(m = \left \lfloor \log x \right \rfloor\),

则 \(m \leq \log x < m+1\) ①

由式①可得

\(2^{m} \leq x < 2^{m+1}\) ②,

进而可得

\(2^{m} < x+1 \leq 2^{m+1}\)

因为 \(x\in Z\), 所以 \(m < \log (x+1) \leq m+1\).

所以 \(\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = m+ 1= \left \lfloor \log x \right \rfloor + 1\).

4、向下取整与向上取整的转换方法

我们知道,一般在程序语言中,两个整数相除都是向下取整。例如,\(5/3=1,2/3=0\);

那么向上取整该如何表示呢,也就是说,向上取整能不能通过向下取整的方式来表达

当然可以,下面是转换公式:

取整函数及其性质_取整


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