四元数求导

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四元数求导（四元数/时间）

1. 四元数关于时间求导的推导 本质：
   求导的定义是函数值的微增量关于自变量的微增量的极限。表示旋转的单位四元数作差后，其不再是单位四元数，也就不是旋转四元数了。单位四元数作差后，得到是被减四元数所在空间的切空间，得到的增量是切空间的微增量，因为是旋转，所以当取极限的时候，切空间的微增量就是函数的微增量，也即四元数对应的导数。
2. 方式1
   假设任何一个旋转，一定可以写成绕一个轴旋转若干角度的形式。则四元数可以写作
   $q = [cos(\frac{\theta}{2}), \overrightarrow n sin(\frac{\theta}{2})]$
   其中 $\theta$是旋转角度， $\omega$是旋转轴。我们假设 $ \overrightarrow n $是关于时间的函数，则四元数可以写成
   $q(t) = [cos(\frac{wt}{2}), \frac{ \overrightarrow w}{w}sin(\frac{wt}{2})]............................................. (0)$
   为了书写方便，不带箭头为相应向量的模长。因为瞬时旋转中，$\omega$的旋转轴和大小我们认为是不变的，则
   $q'(t) = [ -\frac{ w}{2}sin(\frac{wt}{2}), \frac{ \overrightarrow w}{w}.\frac{ w}{2}cos(\frac{wt}{2})]$
   但常见四元数对时间的导数形式不一样，稍微调整一下：
   $q'(t) = [ -\frac{ w}{2}sin(\frac{wt}{2}), \frac{ \overrightarrow w}{w}.\frac{ w}{2}cos(\frac{wt}{2})] ............................................. (1)$
   到此，其实四元数关于时间的导数就已经求解完毕。
   设 两个四元数分别为$q_1 = [a_1,\overrightarrow v_1],q_2 = [a_2,\overrightarrow v_2].............................. (2)$
   可得四元数乘法：
   $q_1 \bigotimes q_2 = [a_1a_2 -v_1.v_2, a_1 \overrightarrow v_2 + a_2 \overrightarrow v_1 + \overrightarrow v_1\overrightarrow v_2] ............................ (3)$
   对比式(1)(3)，通过适凑的方式，可得，
   $\overrightarrow v_1 = \frac{\overrightarrow w}{2}\\ a_1 =0 \\ \overrightarrow v_2 = \frac{\overrightarrow w}{w}.sin(\frac{ wt}{2}) \\ a_2= cos(\frac{ wt}{2}) .............................. (4)$
   即：
   $q_1 = [0,\frac{\overrightarrow w}{2}], q_2 = [cos(\frac{ wt}{2}) , \frac{\overrightarrow w}{w}.sin(\frac{ wt}{2})].............................. (5)$
   所以可得，
   $q'(t) = [0,\frac{\overrightarrow w}{2}] \bigotimes [cos(\frac{ wt}{2}) , \frac{\overrightarrow w}{w}.sin(\frac{ wt}{2})] \\ =\frac{1}{2} [0,\overrightarrow w]\bigotimes q(t)$
   该方法通适凑的方式，巧妙的将四元数求导转化对应到四元数乘法，最后转化到四元数与自身导数的数值关系。