0
点赞
收藏
分享

微信扫一扫

啥是前缀和呀?图解前缀和(含模板)| Java


题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​303. 区域和检索 - 数组不可变​​ ,难度为 简单

Tag : 「前缀和」、「区间求和问题」

给定一个整数数组  nums,求出数组从索引 i 到 j(i ≤ j)范围内元素的总和,包含 i、j 两点。

实现 NumArray 类:

  • NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
  • int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 从索引 i 到 j(i ≤ j)范围内元素的总和,包含 i、j 两点(也就是 sum(nums[i], nums[i + 1], ... , nums[j]))

示例:

输入:
["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
输出:
[null, 1, -1, -3]

解释:
NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]);
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1))
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

提示:

  • 0 <= nums.length <=
  • -<= nums[i] <=
  • 0 <= i <= j < nums.length
  • 最多调用 $10^4# 次 sumRange 方法

前缀和解法(一维)

这是一道前缀和的裸题。

当需要我们求「某一段」区域的和的时候,我们要很自然的想到「前缀和」。

前缀和的作用就是为了帮助我们快速求某一段的和,是「差分」的逆运算。

前缀和数组 sum 的每一位记录的是当前位置距离起点位置,这连续一段的和区间和。

因此当我们要求特定的一段 [i,j] 的区域和的时候,可以直接利用前缀和数组快速求解:​​ans = sum[j] - sum[i - 1]​​。

啥是前缀和呀?图解前缀和(含模板)| Java_前缀和

由于涉及 -1 操作,为了减少一些边界处理,我们可以使前缀和数组下标从 1 开始记录,然后在进行答案计算的时候,根据源数组下标是否从 1 开始决定是否产生相应的偏移:

class NumArray {
int[] sum;
public NumArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
// 前缀和数组下标从 1 开始,因此设定长度为 n + 1(模板部分)
sum = new int[n + 1];
// 预处理除前缀和数组(模板部分)
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
}
public int sumRange(int i, int j) {
// 求某一段区域和 [i, j] 的模板是 sum[j] - sum[i - 1](模板部分)
// 但由于我们源数组下标从 0 开始,因此要在模板的基础上进行 + 1
i++; j++;
return sum[j] - sum[i - 1];
}
}
  • 时间复杂度:预处理前缀和数组需要对原数组进行线性扫描,复杂度为,计算结果复杂度为。整体复杂度为
  • 空间复杂度:

一维前缀和模板

我们再来整理下一维「前缀和」的模板代码:

// 预处理前缀和数组
{
sum = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
}

// 计算 [i, j] 结果
{
i++; j++;
ans = sum[j] - sum[i - 1];
}

总结

最后我们看看「前缀和」与其他知识点的联系。

为啥「前缀和」能大幅度的降低区间求和的复杂度?其实本质是利用数学进行求值:某一段的区间和 = 起点到区间右端点的和(含右端点)- 起点到区间左端点的和(不含左端点)

而求解前缀和数组的过程,则是基于动态规划思想:由于前缀和的每一位都是求「当前位置到起点位置区间的和」。因此当求解某一位的前缀和时,需要「前一位置的前缀和」和「当前位置的原数组值」(而与前一位置的前缀和是如何计算出来无关)。其过程类似于 dp 入门题 ​​509. 斐波那契数​​ 的求解过程。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.303​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

举报

相关推荐

0 条评论