数学建模之层次分析法（AHP）

本文参考老师课上的PPT

层次分析法（AHP）,是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。由于其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源规划、政策指定等，得到了广泛的重视和应用。

层次分析法大体可以分为四个步骤：
1.建立层次结构模型
2.构建判断（成对比较）矩阵
3.一致性检验

**1.建立结构模型。**需要将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

2.构建判断（成对比较）矩阵。
构建原则有以下两点
1）不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。
2）对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。

判断矩阵元素aij的标度方法：

3.一致性检验。

其中lamda为判断矩阵的最大特征值，n为判断矩阵的阶数。由于不一致情况一般都会出现，因此，为了衡量CI的大小是否合理，因此引入随机一致性指标RI。

因此当算出CI之后，可通过判断矩阵阶数查表得RI计算出CR，如果CR<0.1则通过一致性检验。

matlab代码如下：

clc,clear
data = [1 1/2 4 3 3
    2 1 7 5 5
    1/4 1/7 1 1/2 1/3
    1/3 1/5 2 1 1
    1/3 1/5 3 1 1];%需要检验的一致性矩阵
[n,m]=size(data);

%求特征值特征向量,找到最大特征值对应的特征向量
[V,D]=eig(data);%求矩阵的特征值和特征向量，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
lenda=max(D);
lendada=max(lenda);%求对角线向量
col = find(D(1,:) == max(lenda));%求最大特征值
lenda_V = V(:, col);% 最大特征值的特征向量，能够用于计算特征权重
for i = 1:n
    w(i,1) = lenda_V(i,1)/sum(lenda_V);
end

%一致性检验
CI=(lendada-n)/(n-1);
RI=[0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59];
%判断是否通过一致性检验
CR=CI/RI(n);
if CR>=0.1
   fprintf('没有通过一致性检验\n');
else
  w
  fprintf('通过一致性检验\n');
end