一、汉诺塔问题
def hanoi(n,a,b,c): #从a经过b移动到c
if n>0:
hanoi(n-1,a,c,b) #从a经过b移动到c
print("盘%d moving from %s to %s" %(n,a,c))
hanoi(n-1,b,a,c) #从b经过a移动到c
hanoi(2,'A','B','C')递推式 h(x)=2h(x-1)+1 约等于2的n次方
二、查找
1、顺序查找
def linear_search(li,val):
for ind,v in enumerate(li):
if v == val:
return ind
else:
return None2、二分法查找
def binary_search(li,val):
left = 0
right = len(li) - 1
while left <= right: #候选区有值
mid = (left + right) // 2 #整除2
if li[mid] == val:
return mid
elif li[mid] > val: #待查找的值在mid左侧
right = mid - 1
else: #待查找的值在mid右侧
left = mid + 1
else:
return None #没有查找到时间复杂度：O(logn)
三、排序
初级排序：
1、冒泡排序
原地排序，不需要占用新的内存空间。
列表每两个相邻的数，如果前面比后面大，则交换这两个数；
一趟排序完成后，则无序区减少一个数，有序区增加一个数。
def bubble_sort(li): #升序排列
for i in range(len(li)-1): #第i趟 从0开始
exchange = False
for j in range(len(li)-i-1): #指针，每一趟n-i-1个位置
if li[j] > li[j+1]:
li[j],li[j+1] = li[j+1],li[j]
exchange = True
print(li)
if not exchange:
return时间复杂度 O(n^2)
2、选择排序
一趟排序记录最小的数，放到第一个位置
再一趟排序记录列表无序区最小的数，放到第二个位置
……直到排序结束
def select_sort(li):
for i in range(len(li)-1): #第i趟
min_loc = i
for j in range(i+1,len(li)): #遍历范围
if li[j] < li[min_loc]: #如果是最小的，保存下标到min_loc
min_loc = j
li[i],li[min_loc] = li[min_loc],li[i] #最小值和无序区第一个数交换位置
print(li)时间复杂度 O(n^2)
3、插入排序
初始时手里(有序区)只有一张牌
每次从无序区摸一张牌，插入到手里已有牌的正确位置
def insert_sort(li):
for i in range(1,len(li)): #表示摸到的牌的下标
tmp = li[i]
j = i - 1 #j指的是手里的牌的下标 从右往左遍历
while li[j] > tmp and j >= 0: #直到找到比摸到的牌小的牌
li[j+1] = li[j] #向右移动一位
j -= 1
li[j+1] = tmp
print(li)时间复杂度O(n^2)
进阶排序：
3、快速排序
取第一个元素p（第一个元素），使元素p归位
列表被p分程两部分，左边都比p小，右边都比p大
递归完成排序
def partition(li,left,right):#归位函数 一次快排
tmp = li[left]
while left < right:
while left < right and li[right] >= tmp: #从右面开始找到比tmp小的数 放到left的空位
right -= 1 #往左走一位
li[left] = li[right] #把右边的值放入左边空位
while left < right and li[left] <= tmp:
left += 1
li[right] = li[left] #把左边的值放入右边空位
li[left] = tmp #把原来的值归位
return left #放回mid，也就是left或right的值
def quick_sort(li,left,right):
if left < right: #至少有两个元素
mid = partition(li,left,right)
quick_sort(li,left,mid-1)
quick_sort(li,mid+1,right) #递归调用mid分成的左右两部分时间复杂度：O(nlogn)
最坏情况：O(n^2)
避免方式：可以先把列表打乱，或不选取第一个数 改为随机选取第一个要归位的数
4、堆排序
二叉树的存储方式：链式存储方式、顺序存储方式
顺序存储方式：
父节点 i ，左孩子节点 2i+1， 右孩子节点 2i+2
孩子节点 i ，父节点 (i-1) // 2
堆：是一种特殊的完全二叉树结构
大根堆：一棵完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点大
小根堆：一棵完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点小
一次向下调整性质：节点的左右子树都是堆，但自身不是堆，可以通过一次向下调整来将其变成一个堆
堆排序过程：
（1）建立堆（满足任一节点都比其孩子节点大 / 小）
（2）开始按大小出数：得到堆顶元素，为最大元素
（3）去掉堆顶，将堆最后一个元素放到堆顶，此时满足一次向下调整的条件，可通过一次调整重新使堆有序
（4）堆顶元素为第二大元素
（5）重复步骤三，直到堆变空
建立堆：
先看最后一个非叶子节点，一层一层往上看
def sift(li,low,high): #一次向下调整算法
"""
:param li: 列表
:param low: 堆的堆顶位置 （根节点）
:param high: 堆的最后一个元素位置
:return:
"""
i = low #i最开始指向根节点
j = 2 * i + 1 #j开始是左孩子
tmp = li[low] #把堆顶存起来
while j <= high: #只要j位置有数 就循环
if j+1 <= high and li[j+1] > li[j]: #如果右孩子存在 比左孩子大 把j指向右孩子
j = j + 1 #把j指向右孩子
if li[j] > tmp:
li[i] = li[j] #把大的数移到i的位置
i = j #i往下看一层
j = 2 * i + 1
else: #tmp更大，把tmp放到i的位置
li[i] = tmp #把tmp放到某一层父节点的位置
break
else:
li[i] = tmp #j>high后，把tmp放到叶子节点
def heap_sort(li):
n = len(li)
#建立堆
for i in range((n-2)//2,-1,-1):
#i代表建立堆的时候调整的部分的根的下标，从n-1的根节点开始，倒序
sift(li,i,n-1) #low是调整部分的根节点,将high直接放到最后一个叶子节点
#建堆完成了 开始出数
for i in range(n-1,-1,-1):
#i一直指向堆的最后一个数
li[0],li[i] = li[i],li[0] # 最后一个数与堆顶交换
sift(li,0,i-1) #对整个堆调整 low是0,当前最后一个数是i-1，i-1是新的high
#排序完成
li = [i for i in range(100)]
import random
random.shuffle(li)
print(li)
heap_sort(li)
print(li)时间复杂度：sift过程复杂度折半，为O(logn)；整个堆排序O(nlogn)
实际表现：快速排序好于堆排序
Python堆排序内置模块：heapq
常用函数：
heapify(x)：建堆(小根堆)
heappush(heap,item)：为heap增加元素
heappop(heap)：每次弹出一个最小的数
eg：
import heapq #q->queue 优先队列（小的先出/大的先出）
import random
li = [i for i in range(100)]
random.shuffle(li)
print(li)
heapq.heapify(li) #建堆
print(li)
for i in range(len(li)):
print(heapq.heappop(li),end=',')topk问题：有n个数，设计算法得到前k大的数（k<n）
解决思路：
排序后切片 O(nlogn)
冒泡/插入/选择排序 O(kn)
使用堆排序：复杂度 O(nlogk) 更快
取列表前k个元素建立一个小根堆，堆顶就是目前第k大的数
依次向后遍历原列表，对于列表中的元素，如果小于堆顶则忽略该元素；如果大于堆顶，则将堆顶更换为该元素，并且对堆进行一次调整
遍历列表所有元素后，倒序弹出堆顶
#topk 根据堆排序改动
def sift(li,low,high): #一次向下调整算法
"""
:param li: 列表
:param low: 堆的堆顶位置 （根节点）
:param high: 堆的最后一个元素位置
:return:
"""
i = low #i最开始指向根节点
j = 2 * i + 1 #j开始是左孩子
tmp = li[low] #把堆顶存起来
while j <= high: #只要j位置有数 就循环
if j+1 <= high and li[j+1] < li[j]: #如果右孩子存在 比左孩子小 把j指向右孩子
j = j + 1 #把j指向右孩子
if li[j] < tmp:
li[i] = li[j] #把小的数移到i的位置
i = j #i往下看一层
j = 2 * i + 1
else: #tmp更大，把tmp放到i的位置
li[i] = tmp #把tmp放到某一层父节点的位置
break
else:
li[i] = tmp #j>high后，把tmp放到叶子节点
def topk(li,k):
heap = li[0:k]
for i in range((k-2)//2,-1,-1):
sift(li,i,k-1)
#1、建堆
for i in range(k,len(li)-1):
if li[i] > heap[0]:
heap[0] = li[i]
sift(heap,0,k-1)
#2、遍历所有元素
for i in range(k-1,-1,-1):
heap[0], heap[i] = heap[i], heap[0]
sift(heap, 0, i - 1)
#3、出数
return heap
import random
li = list(range(100))
random.shuffle(li)
print(topk(li,10))5、归并排序
一次归并：假设列表分为两段有序，将其合称为一个有序列表
归并排序——使用一次归并：
（1）分解：将列表越分越小，直至分成一个元素
（2）终止条件：只有一个元素的时候是一定有序的
（3）合并：将两个有序列表归并，列表越来越大
def merge(li,low,mid,high): #列表分为两段
i = low
j = mid + 1 #两端的起始指针
ltmp = [] #一个临时列表
while i <= mid and j <= high: #只要左右两段都有数
if li[i] < li[j]:
ltmp.append(li[i])
i += 1
else:
ltmp.append(li[j])
j += 1
#while执行完 两段中肯定有一部分没数了
while i <= mid:
ltmp.append(li[i])
i += 1
while j <= high:
ltmp.append(li[j])
j += 1
li[low:high+1] = ltmp #切片右不包 把临时列表写会去
def merge_sort(li,low,high):
if low < high: #至少段中有两个元素，递归
mid = (low + high) //2
merge_sort(li,low,mid)
merge_sort(li,mid+1,high)
merge(li,low,mid,high)时间复杂度：一次归并O(n)，分解+合并整体：O(nlogn)
空间复杂度：O(n) 开了临时列表存储
