668. 乘法表中第k小的数 : 经典「二分 + 计数判定」运用题-CFANZ编程社区

题目描述

这是 LeetCode 上的 668. 乘法表中第k小的数 ，难度为困难。

Tag : 「二分」、「计数」

几乎每一个人都用乘法表，但是你能在乘法表中快速找到第小的数字吗？

给定高度、宽度的一张的乘法表，以及正整数，你需要返回表中第小的数字。

例 1：

输入: m = 3, n = 3, k = 5

输出: 3

解释:
乘法表:
1 2 3
2 4 6
3 6 9

第5小的数字是 3 (1, 2, 2, 3, 3).

例 2：

输入: m = 2, n = 3, k = 6

输出: 6

解释:
乘法表:
1 2 3
2 4 6

第6小的数字是 6 (1, 2, 2, 3, 4, 6).

注意：

和的范围在之间。
的范围在之间。

二分 + 计数判定

由于和的数据范围都是，总数本身就超过了，我们考虑线性复杂度往下的对数复杂度。

题目要求我们求一维展开有序序列中的第小的数，问题本身具有「二段性」：

答案右边的每个数均满足「其在一维展开有序序列中左边数的个数大于等于个」
答案左边的每个数均不满足「其在一维展开有序序列中左边数的个数大于等于个」

我们考虑如何进行「二分答案」: 假设当前我们二分到的值是，对于乘法表中的每行和每列均是单调递增，我们可以通过累加统计每行/每列中比小的数，记作，累加统计每行/每列中等于的数，记作，那么即是整个乘法表中小于等于的数的个数，再通过和的大小关系来指导左右指针的变化。

具体的，假设我们通过枚举行来统计和，当前枚举到的行号为（行号从开始），该行的最大数为：

若，整行都是小于的数，直接在基础上累加；
若，根据是否存在于该行进行分情况讨论：

能够被整除，说明存在于该行，那么比小的数的个数为，将其累加到，同时对进行加一；
不能够被整除，说明不存在于该行，那么比小的数的个数为，将其累加到。

一些细节：由于乘法表具有对称性，我们统计时可以对行和列中较小的一方进行遍历。

代码：

class Solution {
    int n, m, k;
    public int findKthNumber(int _m, int _n, int _k) {
        n = Math.min(_m, _n); m = Math.max(_m, _n); k = _k;
        int l = 1, r = m * n;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1, cnt = getCnt(mid);
            if (cnt >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    int getCnt(int mid) {
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i * m < mid) {
                a += m;
            } else {
                if (mid % i == 0 && ++b >= 0) a += mid / i - 1;
                else a += mid / i;
            }
        }
        return a + b;
    }
}