793. 阶乘函数后 K 个零 : 经典「数学 + 二分」运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​793. 阶乘函数后 K 个零​​ ，难度为 困难。

Tag : 「数学」、「二分」、「容斥原理」

​​f(x)​​​ 是 ​​x!​​​ 末尾是 ​​0​​​ 的数量。回想一下 ​​x! = 1 * 2 * 3 * ... * x​​​，且 ​​0! = 1​​。

例如， ​​f(3) = 0​​​，因为 ​​3! = 6​​​ 的末尾没有 ​​0​​​ ；而 ​​f(11) = 2​​​，因为 ​​11!= 39916800​​​ 末端有 ​​2​​​ 个 ​​0​​ 。

给定 ​​k​​​，找出返回能满足 ​​f(x) = k​​​ 的非负整数 ​​x​​ 的数量。

示例 1：

输入：k = 0

输出：5

解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0

示例 2：

输入：k = 5

输出：0

解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5

示例 3:

输入: k = 3

提示:

数学 + 二分

对于一个 而言，其最终结果尾部包含 的数量取决于其被累乘 的次数，而 可通过质因数 和 相乘而来，因此假设对 进行阶乘分解，最终分解出 和 的话，那么最终结果尾部包含 的个数为 个（可证明

因此原问题转化为：在非负整数中，有多少个数进行阶乘分解后，所含质因数 的个数恰好为

同时我们可知：随着 的增大，其所能分解出来的

基于此，我们可以通过「二分 + 容斥原理」来得出分解 个数恰好为 的连续段长度。假设我们存在函数 ​​​f(k)​​​ 可得到非负整数中分解 个数为小于等于 ​​​k​​​ 的个数，那么最终 ​​f(k) - f(k - 1)​​ 即是答案。

在单调函数上求解小于等于 ​​k​​​ 分割点，可通过「二分」来做。剩下的问题是，如何求得给定 ​​x​​​ 时，其阶乘分解所包含 个个数，这可以通过

最后还要确定二分的值域，由于我们是求阶乘分解中 的个数，因此值域的上界为 ，利用 的范围为 ，直接取成

Java 代码：

class Solution {
    public int preimageSizeFZF(int {
        if (k <= 1) return 5;
        return f(k) - f(k - 1);
    }
    int f(int {
        long l = 0, r = (long) 1e10;
        while (l < r) {
            long mid = l + r + 1 >> 1;
            if (getCnt(mid) <= x) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return (int)r;
    }
    long getCnt(long {
        long ans = 0;
        while (x != 0) {
            ans += x / 5; x /= 5;
        }
        return

TypeScript 代码：

function preimageSizeFZF(k: number): number {
    if (k <= 1) return 5
    return f(k) - f(k - 1)
};
function f(x: number): number {
    let l = 0n, r = BigInt("10000000000")
    while (l < r) {
        const mid = l + r + 1n >> 1n
        if (getCnt(mid) <= x) l = mid
        else r = mid - 1n
    }
    return Number(r)
}
function getCnt(x: bigint): bigint {
    let ans = 0n
    while (x != 0n) {
        ans += BigInt(Math.floor(Number(x / 5n))); x = BigInt(Math.floor(Number(x / 5n)))
    }
    return

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.793​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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