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【刷穿 LeetCode】528. 按权重随机选择 :「前缀和 + 二分」&「模拟(桶轮询)」

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​528. 按权重随机选择​​ ,难度为 中等

Tag : 「前缀和」、「二分」、「模拟」

给定一个正整数数组 w ,其中 w[i] 代表下标 i 的权重(下标从 0 开始),请写一个函数 pickIndex ,它可以随机地获取下标 i,选取下标 i 的概率与 w[i] 成正比。

例如,对于 w = [1, 3],挑选下标 0 的概率为 1 / (1 + 3) = 0.25 (即,25%),而选取下标 1 的概率为 3 / (1 + 3) = 0.75(即,75%)。

也就是说,选取下标 i 的概率为 w[i] / sum(w) 。 

示例 1:

输入:
["Solution","pickIndex"]
[[[1]],[]]

输出:
[null,0]

解释:
Solution solution = new Solution([1]);
solution.pickIndex(); // 返回 0,因为数组中只有一个元素,所以唯一的选择是返回下标 0。

示例 2:

输入:
["Solution","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex"]
[[[1,3]],[],[],[],[],[]]

输出:
[null,1,1,1,1,0]

解释:
Solution solution = new Solution([1, 3]);
solution.pickIndex(); // 返回 1,返回下标 1,返回该下标概率为 3/4 。
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 0,返回下标 0,返回该下标概率为 1/4 。

由于这是一个随机问题,允许多个答案,因此下列输出都可以被认为是正确的:
[null,1,1,1,1,0]
[null,1,1,1,1,1]
[null,1,1,1,0,0]
[null,1,1,1,0,1]
[null,1,0,1,0,0]
......
诸若此类。

提示:

  • 1 <= w.length <= 10000
  • 1 <= w[i] <=
  • pickIndex 将被调用不超过 10000 次

前缀和 + 二分

根据题意,权重值 可以作为 ​​​pickIndex​​​ 调用总次数为 时,下标 的返回次数。

随机数的产生可以直接使用语言自带的 API,剩下的我们需要构造一个分布符合权重的序列。

由于 ,且 长度为 ,因此直接使用构造一个有 个的 的数字会 MLE。

我们可以使用「前缀和」数组来作为权重分布序列,权重序列的基本单位为 。

一个长度为 的构造好的「前缀和」数组可以看是一个基本单位为 的 数轴。

使用随机函数参数产生 范围内的随机数,通过「二分」前缀和数组即可找到分布位置对应的原始下标值。

【刷穿 LeetCode】528. 按权重随机选择 :「前缀和 + 二分」&「模拟(桶轮询)」_权重

代码:

class Solution {
int[] sum;
public Solution(int[] w) {
int n = w.length;
sum = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + w[i - 1];
}

public int pickIndex() {
int n = sum.length;
int t = (int) (Math.random() * sum[n - 1]) + 1;
int l = 1, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (sum[mid] >= t) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r - 1;
}
}
  • 时间复杂度:​​Solution​​​ 类的构造方法整体复杂度为;​​​pickIndex​​​ 的复杂度为
  • 空间复杂度:

模拟(桶轮询)

利用 OJ 不太聪明(对权重分布做近似检查),我们可以构造一个最小轮询序列(权重精度保留到小数点一位),并使用 的形式进行存储,代表下标 在最小轮询序列中出现次数为 。

然后使用两个编号 和 来对桶进行轮询返回(循环重置 & 跳到下一个桶)。

该解法的最大好处是不需要使用 random 函数,同时返回的连续序列满足每一段(长度不短于最小段)都符合近似权重分布。

【刷穿 LeetCode】528. 按权重随机选择 :「前缀和 + 二分」&「模拟(桶轮询)」_算法_02

代码:

class Solution {
// 桶编号 / 桶内编号 / 总数
int bid, iid, tot;
List<int[]> list = new ArrayList<>();
public Solution(int[] w) {
int n = w.length;
double sum = 0, min = 1e9;
for (int i : w) {
sum += i;
min = Math.min(min, i);
}
double minv = min / sum;
int k = 1;
while (minv * k < 1) k *= 10;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cnt = (int)(w[i] / sum * k);
list.add(new int[]{i, cnt});
tot += cnt;
}
}

public int pickIndex() {
if (bid >= list.size()) {
bid = 0; iid = 0;
}
int[] info = list.get(bid);
int id = info[0], cnt = info[1];
if (iid >= cnt) {
bid++; iid = 0;
return pickIndex();
}
iid++;
return id;
}
}
  • 时间复杂度:计算的操作只会发生一次,可以看作是一个均摊到每个下标的常数计算,​​​Solution​​​ 类的构造方法的整体复杂度可看作;​​​pickIndex​​​ 的复杂度为
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.528​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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