对称矩阵的对角化

首先讨论两个关于对称矩阵的特征值和特征向量的性质：

性质 1　对称矩阵的特征值为实数。

证明见 “​​【证明】对称矩阵的特征值为实数​​”。

显然，当特征值 为实数时，齐次线性方程组

是实系数方程组，由

性质 2　设 是对称矩阵 的两个特征值， 是对应的特征向量。若 ，则 与

证明见 “​​【证明】实对称矩阵特征向量正交​​”。

于是有定理：

定理 1　设 为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 ，使 ，其中 是以 为

证明　暂未给出。

根据定理 1，有推论如下：

推论 1　设 为 阶对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有

证明见 “​​【证明】对称矩阵特征方程k重根恰有k个线性无关的特征向量​​”。