相似矩阵及对角化

前置定理 1　若 ，则 。

证明见 “​​利用逆矩阵简化矩阵多项式​​”。

前置定理 2　若 为对角矩阵，则 。

证明见 “​​利用逆矩阵简化矩阵多项式​​”。

前置定理 3　设 是方阵 的 个特征值， 依次是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则

证明见 “​​特征值和特征向量​​”。

定义 1　设 、 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使

都称 是 的 相似矩阵，或说矩阵 与 相似。对 进行运算 称为对 进行 相似变换，可逆矩阵 称为把 变成

对于相似矩阵，有定理：

定理 1　若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同，从而 与

证明见 “​​【证明】相似矩阵的特征值相同​​”。

根据前置定理 1 可知：若 ，则 ； 的多项式有 。

特别地，若有可逆矩阵 使 为对角矩阵，即若 相似于对角矩阵 ，则

而根据前置定理 2，对于对角矩阵 ，有

由此可方便地计算 的多项式 。

因此，特别地，对于定理 1，我们有推论如下：

推论　若 阶矩阵

相似，则 即是 的

证明见 “​​【证明】矩阵的特征值即其相似对角矩阵主对角线的元素​​”。

假设已经找到可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，则

定理 2　 阶矩阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有

证明见 “​​【证明】矩阵可以对角化的充要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量​​”。

结合前置定理 3，显然有推论如下：

推论　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则

证明　略。