拓端tecdat|R语言方差分析（ANOVA）学生参加辅导课考试成绩差异

方差分析是一种常见的统计模型，顾名思义，方差分析的目的是比较平均值。

为了说明该方法，让我们考虑以下样例，该样例为学生在硕士学位课程中的最终统计考试成绩（分数介于0到20之间）。这是我们的因变量 

。“分组”变量将是学生参加辅导课的方式，采用“自愿参与”，“非自愿参与”的方式。最后是“不参与”（不参加或拒绝参加的学生）。为了形成组，我们有两个变量。第一个是学生的性别（“ F”和“ M”），第二个是学生的身份（取决于他们是否获得许可）。

1.   
2.  > tail(base)
3.  PART GEN ORIG  NOTE
4.  112 vol     F      R1 16.50
5.  113   non_vol.     M      R1 11.50
6.  114   non_vol.     F      R1 10.25
7.  115   non_vol.     F      R1 10.75
8.  116   non_vol.     F   a 10.50
9.  117 vol M      R1 15.75

在开始多因素分析之前，让我们从单因素分析开始。我们可以查看分数的变化，具体取决于分组变量 

1.  > boxplot(base$NOTE~base$PAR
2.  > abline(h=mean(base$NOTE),lty=2,col="re

我们还可以根据性别来查看 

> boxplot(NOTE~GEN,ylim=c(6,20))

在方差分析中，假设 

，

 指定可能的处理方式（这里有3种）。我们将考虑对 

作为补充假设 

。然后，我们将估计两个模型。

第一个是约束模型。

1.  > sum(residuals(lm(NOTE~1,data=base))^2)
2.  [1] 947.4979

对应于

1.  > (SCR0=sum((base$NOTE-mean(base$NOTE))^2))
2.  [1] 947.4979

第二，我们进行回归，

1.  > sum(residuals(lm(NOTE~PART,data=base))^2)
2.  [1] 112.5032

当我们与子组的平均值进行比较时，就等于查看了误差，

1.  >
2.  > (SCR1=sum((base$NOTE-base$moyNOTE)^2))
3.  [1] 112.5032

费舍尔的统计数据

1.  > (F=(SCR0-SCR1)*(nrow(base)-3)/SCR1/(3-1))
2.  [1] 423.0518

判断我们是否处于接受或拒绝假设的范围内 

，可以看一下临界值，它对应于费舍尔定律的95％分位数，

1.  > qf(.95,3-1,nrow(base)-3)
2.  [1] 3.075853

由于远远超过了这个临界值，我们拒绝 

。我们还可以计算p值

1.  > 1-pf(F,3-1,nrow(base)-3)
2.  [1] 0

在这里（通常）为零。它对应于我们通过函数得到的

1.  Analysis of Variance Table
2.   
3.  Response: NOTE
4.  Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
5.  PART        2 834.99  417.50  423.05 < 2.2e-16 ***
6.  Residuals 114 112.50    0.99
7.  ---

或者

1.   
2.   
3.  Terms:
4.  PART Residuals
5.  Sum of Squares  834.9946  112.5032
6.  Deg. of Freedom        2       114
7.   
8.  Residual standard error: 0.9934135
9.  Estimated effects may be unbalanced

可以总结为

1.  Analysis of Variance Table
2.   
3.  Response: NOTE
4.  Df    Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
5.  PART        2 834.99  417.50  423.05 < 2.2e-16 ***
6.  Residuals 114 112.50    0.99
7.  ---

我们在这里可以看到分数并非独立于分组变量。

我们可以进一步挖掘。Tukey检验提供“多重检验”，它将成对地查看均值的差异，

1.   
2.  Tukey multiple comparisons of means
3.  95% family-wise confidence level
4.   
5.   
6.  $PART
7.  diff       lwr      upr    p adj
8.  non_vol.-non_part.   0.60416 -0.04784 1.2561 0.07539
9.  volontaire-non_part. 6.66379  5.92912 7.3984 0.00000
10.  volontaire-non_vol.  6.05962  5.54078 6.5784 0.00000

我们在这里看到，“非自愿”和“非参与”之间的差异不显着为非零。或更简单地说，假设我们将接受零为零的假设。另一方面，“自愿”参加的得分明显高于“非自愿”参加或不参加的得分。我们还可以成对查看学生的检验，

1.   
2.  Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
3.   
4.  data:  NOTE and PART
5.   
6.  non_part. non_vol.
7.  non_vol.   0.03      -
8.  volontaire <2e-16    <2e-16

如果我们将“非自愿”和“非参与”这两种方式结合起来，并将这种方式与“自愿”方式进行比较，我们最终将对平均值进行检验，

1.   
2.  Welch Two Sample t-test
3.   
4.  data:  NOTE[PART == "volontaire"] and NOTE[PART != "volontaire"]
5.  t = 29.511, df = 50.73, p-value < 2.2e-16
6.  alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
7.  95 percent confidence interval:
8.  5.749719 6.589231
9.  sample estimates:
10.  mean of x mean of y
11.  16.66379  10.49432

我们看到，我们在这里接受了“志愿者”学生的成绩与其他学生不同的假设。

在继续之前，请记住在模型中

在某种意义上说，与对应于同调模型 

 不依赖分组 

。

我们可以使用Bartlett检验（该检验将检验方差的同质性）来检验该假设，请记住，如果p值超过5％，则假设“方差齐整性”得到了验证

1.   
2.  Bartlett test of homogeneity of variances
3.   
4.  data:  base$NOTE and base$PART
5.  Bartlett's K-squared = 0.5524, df = 2, p-value = 0.7587

更进一步，我们可以尝试对性别进行方差分析的两因素分析，通常要根据我们的分组情况，也可以根据性别对变量进行分析。当均值的形式为零时，我们将讲一个没有相互作用的模型 

，我们可以包括我们考虑的交互

总的来说，我们的模型

其中，按实验处理方式表示与观察到的平均值平均值的偏差，而按组表示与所观察到的平均值平均值的偏差。这样可以通过添加一些约束来识别模型。最大似然估计：

对应于总体平均值

对应于每次实验的平均值（或更确切地说，它与总体平均值的偏差），

最后

是

我们对一组进行方差分析

对于约束模型，

 和 

 表示实验次数和组数

方差分解公式在这里给出

我们将进行手动计算，

1.   
2.  Terms:
3.  PART    GENRE PART:GENRE Residuals
4.  Sum of Squares  834.9946  20.9618     3.4398   88.1017
5.  Deg. of Freedom        2        1          2       111
6.   
7.  Residual standard error: 0.8909034
8.  Estimated effects may be unbalanced

总结结果

1.  Analysis of Variance Table
2.   
3.  Response: NOTE
4.  Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)
5.  PART         2 834.99  417.50 526.0081 < 2.2e-16 ***
6.  GENRE        1  20.96   20.96  26.4099 1.194e-06 ***
7.  PART:GENRE   2   3.44    1.72   2.1669    0.1194
8.  Residuals  111  88.10    0.79
9.  ---

由于实验组与对照组之间似乎没有任何交互作用，因此可以将其从方差分析中删除。

1.  Analysis of Variance Table
2.   
3.  Response: NOTE
4.  Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
5.  PART        2 834.99  417.50 515.364 < 2.2e-16 ***
6.  GENRE       1  20.96   20.96  25.875 1.461e-06 ***
7.  Residuals 113  91.54    0.81
8.  ---

从结果可以看到（自愿）参加课程会有所帮助。