X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。
路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图【p1.png】所示。
X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。
如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？
为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。
显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。 现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。
思路：这道题其实是一个进栈出栈的题，也就是问所有出栈顺序的可能数，如果之前了解过这方面的问题的同学，这道题其实就是送分题，可以直接利用卡特兰数的公式求解，不了解的话
可以看一下我之前写的一篇博客，也是关于进出栈次序的问题，有对卡特兰数详细的分析，下面是几种网上的常见求解思路，做了一下总结
方法一：求出栈次序，无非就是问一共有多少种满足要求的排列，满足条件在本题中就是指，只有站中有“车”，才能够出来。假设1，代表进站，0代表出站，r代表进栈的个数，L代表出栈的个数，易知
只有进栈的个数r大于等于出栈的个数L才可以出栈或进栈，否则只能进栈,因此可以进行回溯求出所有可能的方案。
1 #include<iostream>
2
3 using namespace std;
4
5 int num=0;
6
7
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9 void dfs(int n,int r,int l){
10
11 if(n==32){
12
13 num++;
14
15 return;
16
17 }
18
19
20
21 if(r>l){
22
23 if(r<16)
24
25 dfs(n+1,r+1,l);
26
27 if(l<16)
28
29 dfs(n+1,r,l+1);
30
31 }else{
32
33 if(r==l)
34
35 if(r<16)
36
37 dfs(n+1,r+1,l);
38
39 }
40
41
42
43 return;
44
45 }
46
47
48
49 int main(){
50
51
52
53 dfs(0,0,0);
54
55 cout<<num<<endl;
56
57 return 0;
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59 }方法二：利用卡特兰数的公式f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)
1 #include <stdio.h>
2
3 int main()
4
5 {
6
7 int f[20];
8
9 int i,j;
10
11 f[0]=1;
12
13 f[1]=1;
14
15 f[2]=2;
16
17 f[3]=5;
18
19 for(i=4;i<=16;i++)
20
21 f[i]=0;//注意必须给其他数组置0
22
23 for(i=4; i<=16; i++) //求16个元素
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25 {
26
27 for(j=0; j<=i-1; j++)
28
29 f[i]+=f[j]*f[i-1-j];
30
31 }
32
33 printf("%d",f[16]);
34
35 return 0;
36
37 }方法三：卡特兰数的另一种递推公式h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
1 #include <stdio.h>
2
3 int main()
4
5 {
6
7 int n,h[20];
8
9 h[0]=1;
10
11 h[1]=1;
12
13 for(n=2;n<=16;n++)
14
15 h[n]=h[n-1]*(4*n-2)/(n+1);
16
17 printf("%d\n",h[16]);
18
19 return 0;
20
21 }方法四：卡特兰数递推公式的解：h(n)=C(n,2n)*(2n-1) (n=0,1,2,...)
该种方法有一定的局限性，因为n>14时数据会超出unsigned long long int 的范围（0~2^64-1），不过可以考虑先求n=14的解，再用计算器推出n=16的解。
1 #include<bits/stdc++.h>
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3 using namespace std;
4 int m;
5 unsigned long long int f(int n)
6 {
7 unsigned long long int m1=1;
8 unsigned long long int m2=1;
9 for(int i=1;i<=n;i++){
10 m1*=i;
11 }
12 for(int i=2*n;i>n;i--){
13 m2*=i;
14 }
15 // cout << m2 << "--" << m1 << endl;
16 m=m2/m1;
17 return m;
18 }
19 int main()
20 {
21
22 int n;
23 // while(true){
24 cin >> n;
25 cout << f(n)/(n+1);
26 // }
27 return 0;
28 }总之熟记卡特兰数即可。
作者：你的雷哥
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