笔试算法《完全背包问题》

题目

• 完全背包：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用，第i件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

思路

• 1，完全背包是01背包的变形，可以先了解01背包 01背包问题。
• 2，解法：既然是01背包的变形那解法跟01背包类似

• 1，利用二维数据，构造一个表: dp[i][j]表示将前i件物品装进限重为j的背包可以获得的最大价值, 0<=i<=N, 0<=j<=V
  容量数组：V[i] 0<=i<=N
  价值数组：W[i] 0<=i<=N
• 2, 如果 j< Ci ，不装入第i件物品， dp[i][j]=dp[i-1][j]
• 3, 若果 j> Ci ，装入第i件物品， dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-V[i]]+W[i])
  注：完全背包就是01背包的变形，只不过可以重复放入同一件物品，所以将dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V[i]]+W[i])
  改为dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-V[i]]+W[i])即可。这样就可以计算重复放入物品和之前放入的最大值

• 举例：
  容量为10，有个 3,4,6,2四件物品价格分别为2,1,6,3

第一步：放入物品 3，价值为2: 根据体积可以计算，可以重复放入3，所以，到6和9的时候价值变化为4和6

第二步：放入物品4，价值为1

（当放入4，根据公式计算，到后面一直到10，最多放入两个4，价值为2，都没有上一步价值高，所以取上面的值）

第三步：放入物品6，价值为6

（当放入6，根据公式，到9之后，9-6=3，当前列3下面是2,所以6+2=8

第四步：放入物品2，价值为3

（当放入2，后到4的时候，查找4-2=2，当前列2下面是3，所以是3+3=6）

（当放入2，后到6的时候，查找6-2=4，当前列4下面是6，所以是3+6=9）

（当放入2，后到8的时候，查找8-2=6，当前列6下面是9，所以是3+9=12）

（当放入2，后到10的时候，查找10-2=8，当前列8下面是12，所以是3+12=15）

结果：就是dp[N.length - 1][W]，也就是列表的最后一个数15

代码

public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        //容量
        int W = scanner.nextInt();

        //物品体积
        int[] N = {0, 3, 3, 4, 5};

        //物品对应的价值
        int[] V = {0, 3, 4, 5, 6};

        int[][] dp = new int[N.length + 1][W + 1];

        for (int i = 1; i < N.length; i++) {

            for (int j = 1; j <= W; j++) {
                if (j < N[i]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - N[i]] + V[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N.length - 1][W]);
    }